[BZOJ 4031][LOJ 2122][HEOI 2015] 小Z的房间

题意

给定一个 \(n\times m\) 的矩阵, 一些格子是障碍, 相邻的格子(四联通)之间可以连边, 求把非障碍的格子连成一棵树的方案数量 \(\bmod 10^9\) 的值.

\(n,m\le 9\).

题解

一些奇怪的东西

做题过程:

  1. 这个数据范围怎么这么像大力状压啊
  2. 怎么还要联通性啊不会是插头DP吧
  3. woc连成树? 矩阵树定理sb题?
  4. 码码码...
  5. 哦淦这个模数怎么没逆元啊QAQ

正经内容

其实就是个矩阵树定理sb题...

矩阵树定理内容:

一个 \(n\) 个点的图的生成树个数即为其 Laplacian 矩阵的任一 \(n-1\) 阶余子式的行列式的值.

构造出Laplacian矩阵, 丢掉一行一列然后高斯消元消成上三角, 最后把对角线上的元素乘起来就是答案了.

但是这题高消的时候遇到了一些问题: 没有逆元.

这就比较辣手了qwq...

但是我们可以用另一个高端操作来消元: 辗转相除.

辗转相除求 \(\gcd\) 的时候最后一定能把其中一个值消成 \(0\), 此时另一个值就是 \(\gcd\). 但是这里我们关注点不是 \(\gcd\) 而是如何把其中一个值消成 \(0\).

但是初等行变换可没有整行取模这种操作.

考虑取模本质上是什么. 我们不难得到下面这个显然的式子:

\[a\bmod b=a-\left \lfloor \frac a b \right \rfloor b
\]

这样我们就可以用 \(\left \lfloor \frac a p \right \rfloor\) 做系数来初等行变换消元了. 消一个 \(n\) 阶矩阵的时间复杂度是 \(O(n^3\log p)\) 的.

总时间复杂度 \(O\big((nm)^3\log p\big)\).

参考代码

#include <bits/stdc++.h>

const int MOD=1e9;
const int MAXN=110;
typedef long long intEx;
const int d[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}}; int n;
int m;
int cnt;
int id[MAXN][MAXN];
std::vector<intEx> mt[MAXN]; int GaussDet(int); int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
char ch;
scanf(" %c",&ch);
if(ch=='.')
id[i][j]=++cnt;
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)
mt[i].resize(cnt+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(id[i][j]){
for(int k=0;k<4;k++){
if(id[i+d[k][0]][j+d[k][1]]){
--mt[id[i+d[k][0]][j+d[k][1]]][id[i][j]];
++mt[id[i][j]][id[i][j]];
}
}
}
}
}
printf("%d\n",GaussDet(cnt));
return 0;
} int GaussDet(int n){
intEx ans=1;
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=i+1;j<n;j++){
while(mt[j][i]!=0){
intEx r=mt[i][i]/mt[j][i];
for(int k=i;k<n;k++)
(mt[i][k]-=r*mt[j][k])%=MOD;
std::swap(mt[i],mt[j]);
ans=-ans;
}
}
(ans*=mt[i][i])%=MOD;
}
return (ans%MOD+MOD)%MOD;
}

[BZOJ 4031][LOJ 2122][HEOI 2015] 小Z的房间的更多相关文章

  1. bzoj 4031: 小Z的房间 矩阵树定理

    bzoj 4031: 小Z的房间 矩阵树定理 题目: 你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间.事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形,每个格子是一个房间或者是一个柱子.在一开始的时 ...

  2. bzoj 4031: [HEOI2015]小Z的房间 轮廓线dp

    4031: [HEOI2015]小Z的房间 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 98  Solved: 29[Submit][Status] ...

  3. 【刷题】BZOJ 4031 [HEOI2015]小Z的房间

    Description 你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间.事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形,每个格子是一个房间或者是一个柱子.在一开始的时候,相邻的格子之间都有墙隔着. ...

  4. 【BZOJ 4031】 4031: [HEOI2015]小Z的房间 (Matrix-Tree Theorem)

    4031: [HEOI2015]小Z的房间 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 1089  Solved: 533 Description ...

  5. BZOJ 4031: [HEOI2015]小Z的房间 高斯消元 MartixTree定理 辗转相除法

    4031: [HEOI2015]小Z的房间 题目连接: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4031 Description 你突然有了一个 ...

  6. 【BZOJ-4031】小z的房间 Matrix-Tree定理 + 高斯消元解行列式

    4031: [HEOI2015]小Z的房间 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 937  Solved: 456[Submit][Statu ...

  7. 【BZOJ4031】小Z的房间(矩阵树定理)

    [BZOJ4031]小Z的房间(矩阵树定理) 题面 BZOJ 洛谷 Description 你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间.事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形,每个格子 ...

  8. 【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间 Matrix-Tree定理+高斯消元

    [bzoj4031][HEOI2015]小Z的房间 2015年4月30日3,0302 Description 你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间.事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的 ...

  9. [HEOI2015]小Z的房间 && [CQOI2018]社交网络

    今天看了一下矩阵树定理,然后学了一下\(O(n ^ 3)\)的方法求行列式. 哦对了,所有的证明我都没看-- 这位大佬讲的好呀: [学习笔记]高斯消元.行列式.Matrix-Tree 矩阵树定理 关于 ...

随机推荐

  1. BATJ面试必会之并发篇

    一.线程状态转换 新建(New) 可运行(Runnable) 阻塞(Blocking) 无限期等待(Waiting) 限期等待(Timed Waiting) 死亡(Terminated) 二.使用线程 ...

  2. Behave用户自定义数据类型

    在step句子中, 所有的参数默认是string类型, 如果用户想使用复杂的或者其他数据类型, 就需要了解以下bahave中的数据类型. behave的数据类型转换器是在parse和cfparse中支 ...

  3. Python urllib简单使用

    Python的urllib和urllib2模块都做与请求URL相关的操作. 它们最显著的差异为: urllib2可以接受一个Request对象,并以此可以来设置一个URL的headers,但是urll ...

  4. JDK动态代理[3]----WeakCache缓存的实现机制

    上一篇我们分析了Proxy类的内部是怎样产生代理类的,我们看到了Proxy内部用到了缓存机制,如果根据提供的类加载器和接口数组能在缓存中找到代理类就直接返回该代理类,否则会调用ProxyClassFa ...

  5. JS中的事件冒泡——总结

    一. 有话要说 事件冒泡这个话题已经被园子里的朋友说透了,已经没什么要讲的了,但是由于呢我这边有个小问题刚好跟这个事件冒泡有关,就突然性想写个总结:一方面是给自己增加印象,另一方面给园子的新手们,提供 ...

  6. 零基础学C#算法(零基础学算法——C#版)

    今天本人正在看算法方面的书.作为高中数学忘得差不多的渣渣,实在无力.无奈找了本书,c语言写的,哎.我就把其中代码翻译成C#版好了.此坑能否填平,看我耐性和网络支持条件吧.有生之年能看完的话我会把整个项 ...

  7. SSM+Redis+Shiro+Maven框架搭建及集成应用

    引文: 本文主要讲述项目框架搭建时的一些简单的使用配置,教你如何快速进行项目框架搭建. 技术: Spring+SpringMVC+Mybatis+Redis+Shiro+Maven          ...

  8. data whitening

    http://ufldl.stanford.edu/tutorial/unsupervised/PCAWhitening/

  9. 序列化模块1 json

    ......得到一个 字符串 的结果 过程就叫序列化 字典 / 列表 / 数字 /对象 -序列化->字符串 为什么要序列化 # 1.要把内容写入文件 序列化 # 2.网络传输数据 序列化 字符串 ...

  10. javascript中让你捉摸不定的this

    this到底指向谁,估计很多人在使用javascript的过程中都遇到过,这个关键字如果没搞懂,在一些高级功能中都会困难重重,搜了下相关文章,介绍的都挺多的,也有很深入的,比如汤姆大叔的<深入理 ...