bzoj 3027: [Ceoi2004]Sweet （生成函数）

题目传送门：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3027。

题目大意：有$n$种数，每种有$C_i$个，问你在这些数中取出$[l,r]$个，问你有多少种不同的取法，答案对2004取模。

数据范围：$n≤10$，$C_i≤10^6$，$1≤l<r≤10^7$。

我们不妨设$f(n)$表示不超过$n$的数的取法之和。

则答案显然为$f(r)-f(l-1)$，下面来推导f(x)。

显然，$f(m)$等于多项式$\Pi_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{C_i}x^i$[0,m]的系数和。

考虑到$C_i$很大，如果直接多项式乘法，会$T$，必须化简。

原式

$=\Pi_{i=1}^n \frac{1-x^{C_i} } {1-x}$。

$=\frac{\Pi_{i=1}^{n} (1-x^{C_i})}{(1-x)^n}$。

$=\Pi_{i=1}^{n} (1-x^{C_i}) \sum_{j=-1}^{\infty} \binom{n+j}{n-1}x^(j+1)$

考虑式子的前半部分，不难发现，该部分最多只有$2^n$个位置是非零的，显然我们只需要处理这部分，并不需要对整个多项式做乘法。实现该步骤一个dfs即可。

对于后半部分，假设求f(m)过程中前面通过dfs连乘出的单项式次数为k，系数为p，那么需要累加的答案显然多项式$p \times \sum_{j=-1}^{m-k-1} \binom{n+j}{n-1}x^(j+1)$。

然后根据组合数的相关公式进行化简，得到$p \times \binom{n+m-k-1}{n-1}$。

然后就愉快地昨晚啦

 #include<bits/stdc++.h>
 #define L long long
 #define MOD 2004
 using namespace std;

 L n,a,b,now,ans=;
 L m[]={},mul=;

 L C(int n,int m){
     if(n<m) return ;
     L ans=,mod=mul*MOD;
     for(L i=n-m+;i<=n;i++)
     ans=i%mod*ans%mod;
     return (ans/mul)%MOD;
 }

 void dfs(L dep,L fu,L mi,L lim){
     if(dep==n+){
         now=(now+fu*C(n+lim-mi,n)%MOD)%MOD;
         return;
     }
     dfs(dep+,fu,mi,lim);
     dfs(dep+,-fu,mi+m[dep]+,lim);
 }
 L calc(L hh){
     now=;
     dfs(,,,hh);
     return now;
 }
 int main(){
     cin>>n>>a>>b;
     mul=; for(int i=;i<=n;i++) mul*=i;
     for(int i=;i<=n;i++) cin>>m[i];
     ans=((calc(b)-calc(a-))%MOD+MOD)%MOD;
     cout<<ans<<endl;
 }