洛谷 P1224 - [NOI2013] 向量内积（随机化）

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一道很神的随机化。

首先由于我们要求向量点乘 \(\bmod k\) 的值，因此我们可以将所有 \(x_{i,j}\) 都模上 \(k\)，显然该操作不影响结果正确性。

注意到这里的 \(d\) 与 \(n\) 不同阶，这也就暗示我们要找到一个复杂度重心偏向 \(d\) 的算法，首先考虑 \(k=2\) 的情形，我们考虑依次枚举所有向量并维护它们的前缀和 \(\vec{S}\)，对于每个向量 \(\vec{x_i}\) 我们求出 \(\vec{S}·\vec{x_i}\bmod k\) 的值——显然如果对于所有 \(j<i\)，\(\vec{x_i}·\vec{x_j}\) 都不是 \(k\) 的倍数，那么应有 \(\vec{S}·\vec{x_i}\equiv i-1\pmod{k}\)，因此如果我们发现上式不成立那么必然 \(\exists j<i,\vec{x_i}·\vec{x_j}\bmod k=0\)，于是我们再 \(\mathcal O(nd)\) 地 check 一遍即可。

接下来考虑 \(k=3\) 的情形，由于任意两个向量 \(\vec{u}·\vec{v}\bmod 3\) 可能得到 \(0,1,2\) 三种可能，因此如果 \(\vec{S}·\vec{x_i}\not\equiv i-1\pmod{k}\) 并不能得出 \(\exists j<i,\vec{x_i}·\vec{x_j}\bmod k=0\)，上述 solution 也就不能简简单单地推广到 \(k=3\) 的情形，不过发现 \(1,2\) 平方一下都能得到 \(1\)，因此考虑求出 \(\sum\limits_{j=1}^{i-1}(\vec{x_j}·\vec{x_i})^2\)——该式子可以写成 \(\sum\limits_{j=1}^{i-1}\vec{x_j}·\vec{x_i}^{T}·\vec{x_j}^{T}·\vec{x_i}=\sum\limits_{j=1}^{i-1}\vec{x_j}·\vec{x_j}^{T}·\vec{x_i}^{T}·\vec{x_i}\)，维护矩阵 \(A=\sum\limits_{j=1}^{i-1}\vec{x_j}·\vec{x_j}^T\) 即可 \(\mathcal O(d^2)\) 求出上述值，这部分复杂度 \(\mathcal O(nd^2)\)。

但是很显然在上述过程中我们用的只是必要条件，也就是说如果我们没有找到某个 \(i\) 满足 \(\vec{S}·\vec{x_i}\not\equiv i-1\pmod{k}\)，并不意味着不存在符合条件的两个向量 \(i,j\)，反例随便举，比如：

3 2 2
1 1
1 0
0 0

不过注意到在单次过程中，我们找不到符合条件的两个向量 \(\vec{x_i},\vec{x_j}\) 的概率是很小的，因此考虑随机化，每次把向量集合 random_shuffle 一下，然后重复上面的步骤即可，这样即可通过此题。

const int MAXN=1e5;
const int MAXM=100;
int n,m,k,a[MAXN+5][MAXM+5];
bool check(int x,int y){
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=m;i++) sum+=a[x][i]*a[y][i];
	return sum%k==0;
}
int b[MAXM+5],c[MAXM+5][MAXM+5],p[MAXN+5];
int work(int x){
	if(k==2){
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=m;i++) sum+=b[i]*a[x][i];
		for(int i=1;i<=m;i++) b[i]^=a[x][i];
		return sum%k;
	} else {
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=1;j<=m;j++) sum+=c[i][j]*a[x][i]*a[x][j];
		for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=1;j<=m;j++) c[i][j]=(c[i][j]+a[x][i]*a[x][j])%k;
		return sum%k;
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){
		scanf("%d",&a[i][j]);a[i][j]%=k;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
	for(int t=1;t<=8;t++){
		memset(b,0,sizeof(b));memset(c,0,sizeof(c));
		random_shuffle(p+1,p+n+1);
		for(int i=1;i<=n;i++) if(work(p[i])!=(i-1)%k){
			for(int j=1;j<i;j++) if(check(p[i],p[j])){
				printf("%d %d\n",min(p[i],p[j]),max(p[i],p[j]));return 0;
			} assert(0);
		}
	} puts("-1 -1");
	return 0;
}