ACM_扩展欧几里德算法

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	扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int r = exgcd(b, a%b, x, y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - (a/b) * y;
	return r;
}

int main() {
	int a, b, x, y;
	while (cin >> a>> b) {
		int r = exgcd(a, b, x, y);
		cout << "最大公约数为"<< r<< "   "<< "x、y的值分别为" << x << "	"<< y<< endl;
		cout << "方程的每一个解都可以由 "<< x <<"+ k*"<< b/r<< "	"<< y << "- k*"<< a/r<< " 得到！"<< endl<< endl;
	}
	return 0;
}