从贝叶斯到粒子滤波——Round 1

　　粒子滤波确实是一个挺复杂的东西，从接触粒子滤波到现在半个多月，博主哦勒哇看了N多篇文章，查略了嗨多资料，很多内容都是看了又看，细细斟酌。今日，便在这里验证一下自己的修炼成果，请各位英雄好汉多多指教。

　　讲粒子滤波之前，还得先讲一个叫”贝叶斯滤波”的东西，因为粒子滤波是建立在贝叶斯滤波的基础上的哩。说太多抽象的东西也很难懂，以目标跟踪为例，直接来看这东西是怎么回事吧：

　　1. 首先咋们建立一个动态系统，用来描述跟踪目标在连续时间序列上的变换情况。简单一点，我们就使用目标的位置(i,j)作为这个动态系统的状态吧。

　　那怎么描述呢？

　　我们使用状态x_t来描述系统在时刻t的状态，在这个例子中，x_t=(i_t,j_t)；使用y_t表示在时刻t目标的观测值。这里请注意，x_t是我们建立的模型中，目标的位置，而目标的实际位置不一定与之相等。举个简单的例子就是：一部小车做匀加速直线运动，x_t是我们用公式计算出来的小车的位置，y_t是我们用GPS定位到的位置。

　　由于误差的存在，光靠理论公式计算得出来的结果肯定是有偏差的。但是，GPS又卡又慢，要靠它来完成我们的目标跟踪貌似也不是很靠谱。那我们做一下折衷吧，先用理论计算得到目标的位置，然后用观测值进行修正，使得我们的模型更加完美。

　　额！完美吗？不害臊！你理论得出来的不准确，然后还要靠又卡又慢的GPS来修正，还好意思跟我说完美！你怎么不上天，跟太阳肩并肩。再说了，你修正后的位置还不一定是准确了，要我说目标也可能就在计算到的位置，也可能在它东边、西边、南边、北边、东南边......

　　咔咔咔！行行行，我错了还不行么。你这人真是急躁，喝口茶消消气，再听我细细说来。前面那位大爷说的在理，咋们得听，嗯，我猜他应该是太阳的后裔，哈哈哈！跑题了。

　　是啊！目标的位置可能在好多个位置，有各种可能性，毕竟我们并没有得到一个准确的值。咦！那我们可以用概率来描述啊！这种不确定性不就是概率论里面说的那些东西吗？天呐，我好激动，修炼多年的概率论终于派上用场了。而且你看哦，用观测值y_t对x_t进行修正，这不就是说先得到先验概率p(x_t)，然后获取到更加丰富的信息y_t后，对先验概率进行修正，得到后验概率p(x_t|y_t)吗？哇哇哇！贝叶斯，贝叶斯，这就是贝叶斯啊，条件概率啊！！！

　　2. 贝叶斯滤波

　　嗯嗯嗯，对对对，楼上正解。从贝叶斯理论的观点来看，状态估计问题(目标跟踪，信号滤波)就是根据之前一系列已有数据y_1:t(后验只是)递推计算出当前状态x_t的可信度。这个可信度就是概率公式p(x_t|y_1:t)。贝叶斯滤波通过预测和更新这两个步骤来递推计算xt的可信度。

　　预测过程是利用系统模型预测状态x_t的先验概率密度，也就是通过已有的先验知识对未来系统的状态进行猜测，

　　更新过程是利用新的观测值y_t对先验概率密度进行修正，得到后验概率密度。

　　3. 公式及推导

　　贝叶斯滤波的公式是酱紫的：

　　预测：

　　　　

　　更新：

　　　　

　　在推导之前，一些预备知识还是要的。贝叶斯公式(就是条件概率公式啦)，全概率公式，样本空间的概念和完备事件组的概念。这些知识对推导过程的理解尤为重要，建议各位先了解一下这些概念。

　　还要提一下，动态系统中的状态转移问题，一般都先假设其服从一阶马尔科夫(Markov)模型，即

　　①当前时刻的状态x_t只与上一时刻的状态x_t-1有关；

　　②t时刻的观测值y_t只与当前的状态x_t有关。

　　下面进行贝叶斯滤波公式的推导：　　

　　预测：

　　

　　哈哈！博主比较懒，直接上图了，字比较丑，见谅见谅。第一行是一个全概率公式的应用，然后第二第三第四行都是条件概率啦！最后一行是根据假设①来着。

　　这里你可能有一个问题，既然都说前时刻的状态x_t只与上一时刻的状态x_t-1有关，跟y_t没半毛钱关系，即p(x_t|x_t-1)。那你弄一个p(x_t|y_1:t-1)是几个意思？

　　莫说你要问了，我当初可是也纠结了好久。说到底，这两个概率公式含义不一样。p(x_t|x_t-1)是纯粹根据模型进行预测(计算)，啪，x_t-1进去，公式一算，x_t出来了，简单明了。p(x_t|y_1:t-1)这一个呢，是说既然我们已经拿到了一组数据，这些数据跟系统状态也是有关系的，那我们就可以根据这些数据来猜呀，只是猜测而已呐。（楼主yy：那... 你猜我猜不猜？）

　　更新：

　　

　　第三行是根据假设②，其他的全都是条件概率公式的应用。

　　这里你应该跟我一样，也还有一个问题，就是既然y_t只与x_t有关，那分母的p(y_t|y_1:t)为什么不直接写成p(y_t)啊！！！

　　关于这个问题，其实，我也不知道。要不你们也研究一下咯，然后拜托告诉我一声。

　　However，当贝叶斯滤波碰到了粒子滤波，这些推导完全不重要。哈哈哈！就是说我们推了半天没用，好想哭。。。

　　粒子滤波使用N个加权的样本(即粒子)来近似表示后验概率密度p(x_t|y_1:t)。因为有些问题系统状态变换很难建模嘛，公式都没有，x_t没法产生啊！所以就撒样本呗，用样本的分布来近似状态x_t的真实分布。

　　预知后事如何，请听下回分解。