Codeforces 629C Famil Door and Brackets DP
题意:给你一个由括号组成的字符串,长度为m,现在希望获得一个长度为n(全由括号组成)的字符串,0<=n-m<=2000
这个长度为n的字符串要求有两个性质:1:就是任意前缀,左括号数量大于右括号数量
2:字符串中左括号的数量等于右括号
现在让你可以在长度为m的原串前加一个括号串p,在原串后加一个括号串q 最后p+m+q=n
问有多少种组合p,q能得到目标串
分析:(这题我不会,看了题解才会)
定义dp[i][j],为前缀长为i,且左括号数量-右括号数量=j的串有多少个
所以dp[0][0]=1;
if(j>0)dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j+1]
else j==0 dp[i][j]=dp[i-1][j+1]
然后处理原串,找到 左-右的最终数量cnt,和最小数量d
然后枚举p的长度和平衡值 对于长度i, 当-d<=j时,p可以加到前面
然后当p确定后,q的长度也确定,因为最终 左=右 ,所以q 的(右-左)的代价也知道了
假设当前是i,平衡度是j,所以只要将dp[i][j]*dp[n-m-i][j+cnt]加到答案就行了
注意:dp[i][j]代表前缀i,平衡度为j的方案数, dp[n-m-i][j+cnt]为后缀n-m-i,平衡度为-(j+cnt)的方案数,是对称的,很重要
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e3+;
const LL mod = 1e9+;
LL dp[N][N];
char s[+];
int main()
{
int m,n;
scanf("%d%d%s",&n,&m,s+);
dp[][]=;
for(int i=; i<=n-m; ++i)
{
for(int j=; j<=i; ++j)
{
if(!j)
dp[i][j]=dp[i-][j+];
else
dp[i][j]=(dp[i-][j-]+dp[i-][j+])%mod;
}
}
int cnt=,d=m+;
for(int i=; i<=m; ++i)
{
if(s[i]=='(')++cnt;
else --cnt;
d=min(d,cnt);
}
LL ans=;
for(int i=; i<=n-m; ++i)
{
for(int j=; j<=i; ++j)
{
if(-d<=j&&cnt+j<=n-m-i)
ans=(ans+dp[i][j]*dp[n-m-i][cnt+j])%mod;
}
}
printf("%I64d\n",ans);
return ;
}
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