[AGC012F]Prefix Median
题目大意:
给定一个长度为$2n-1(n\le50)$的数组$a$,可以重排$a$中的元素,生成一个长度为$n$的数组$b$,其中$b_i$为$a_1\sim a_{2i-1}$的中位数。求对于给定的$a$能生成多少种不同的$b$。
思路:
对$a$进行排序,转化题意。求满足以下3个条件的长度为$n$的数列$b$的个数:
1.$b_i\in\{a_i,a_{i+1},\ldots,a_{2n-i}\}$;
2.对于$(i<j)$,不存在$b_i<b_j<b_{i+1}$;
3.对于$(i<j)$,不存在$b_i>b_j>b_{i+1}$。
用$f[i][j][k]$表示考虑$b$的第$i$位,比它小的可选数有$j$种,比它大的可选数有$k$种。即可用动态规划求得。
每次转移设$l=[a_i\ne a_{i-1}],r=[a_{m-i+1}\ne a_{m-i+2}]$,对应条件1,表示当前转移可以新填的数。若$a_i=a_{i-1}$或$a_{m-i+1}=a_{m-i+2}$则说明不会增加新填的数。
转移1:$f[i-1][j+l][k+r]+=f[i][j][k]$,即当前填的数还是上次的数,但是两边各多出$l$或$r$个可以填。
转移2:$f[i-1][t][k+r+1]+=f[i][j][k](t<j+l)$,表示若将当前填的数变小,左边还剩$t$个可以填,这里本来填的变成了右边的。
转移3:$f[i-1][j+l+1][t]+=f[i][j][k](t<k+r)$,表示若将当前填的数变大,右边还剩$t$个可以填,这里本来填的变成了左边的。
状态$O(n^3)$,转移$O(n)$,时间复杂度$O(n^4)$。
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
inline int getint() {
register char ch;
while(!isdigit(ch=getchar()));
register int x=ch^'';
while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<)+x)<<)+(ch^'');
return x;
}
constexpr int mod=1e9+;
constexpr int N=,M=;
int a[N],f[N][M][M];
int main() {
const int n=getint(),m=n*-;
for(register int i=;i<=m;i++) a[i]=getint();
std::sort(&a[],&a[m]+);
f[n][][]=;
for(register int i=n;i>;i--) {
const bool l=a[i]!=a[i-],r=a[m-i+]!=a[m-i+];
for(register int j=;j<=m;j++) {
for(register int k=;k<=m;k++) {
if(!f[i][j][k]) continue;
(f[i-][j+l][k+r]+=f[i][j][k])%=mod;
for(register int t=;t<j+l;t++) {
(f[i-][t][k+r+]+=f[i][j][k])%=mod;
}
for(register int t=;t<k+r;t++) {
(f[i-][j+l+][t]+=f[i][j][k])%=mod;
}
}
}
}
int ans=;
for(register int i=;i<=m;i++) {
for(register int j=;j<=m;j++) {
(ans+=f[][i][j])%=mod;
}
}
printf("%d\n",ans);
return ;
}
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