求同余方程x^A=B(mod m)的解个数(原根与指标)

求方程：的解个数

分析：设，那么上述方程解的个数就与同余方程组：的解等价。

设同于方程的解分别是：，那么原方程的解的个数就是

所以现在的关键问题是求方程：的解个数。

这个方程我们需要分3类讨论：

第一种情况：

对于这种情况，如果方程的某个解设为，那么一定有，可以得到，即

所以方程的解个数就是：，也就是

第二种情况：

这样也就是说p|B，设，，本方程有解的充要条件是A|t，

那么我们设t=kA，

所以进一步有：，因为，这样又转化为第三种情况了。

第三种情况：

那么我们要求指标；求指标的话又要求原根。并且奇素数p的原根也是p^a的原根，所以说求个p的原根就好了。

且如果有解，则解的个数为(A,φ(p^a))。

求指标的话就是要解决A^x ≡ B (mod p^a)的问题。由于本情况保证了(p^a, B)=1，用个Baby-step-Giant-step就

能解决问题。

方程x^A ≡ B (mod p^a)有解，当且仅当(A,φ(p^a))|ind B。ind B表示B对于p^a的任一原根的指标。

如果不知道原根与指标的现在就补一下吧：

原根部分：

定义一：设m>1,(a,m)=1,则使得成立的最小正整数r，称为a对模m的指数，或者a对模m的阶，记为

定理一：若m>1，(a,m)=1,,则

定义二：若，则a是模m的原根。

定理二：如果大于1的正整数m有原根，那么它一共有个不同的原根。

定理三：模m有原根的必要条件是m=2，4，p^a或者2p^a，其中p是奇素数。

定理四：设m>1,所有不同的奇因数是，(g,m)=1，则g是模m的原根的充要条件是：

   1<=i<=k

指标，n次剩余部分：

现在我们来研究同余式  (a,m)=1，有解的条件以及解数，注意现在的m=p^a或者2p^a，，g是模m的一个原根。

若(n,c)=d ,(a,m)=1，则上述同余式有解的充要条件是d|inda，并且在有解的条件下，解数为d。

在模m的一个简化剩余系中，n次剩余的个数是

定理一：若r通过模c的最小非负完全剩余系，则g^r通过模m的一个简化剩余系。

证明：g是模m的一个原根，则对模m两两不同余，又因为(g,m)=1，所以(g^r,m)=1

因此是模m的一个简化剩余系。

定理一：设a是一整数，(a,m)=1，若对模m的一个原根g，有一整数r存在使得下式

成立，则r就叫做以g为底的a对模m的一个指标,记为r=inda。