【Foreign】开锁 [概率DP]

开锁

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Description

　　

Input

　　

Output

　　

Sample Input

　　4
　　5 1
　　2 5 4 3 1
　　5 2
　　2 5 4 3 1
　　5 3
　　2 5 4 3 1
　　5 4
　　2 5 4 3 1

Sample Output

　　0.000000000
　　0.600000000
　　0.900000000
　　1.000000000

HINT

　　

Main idea

　　一个宝箱内有一个可以开启别的宝箱的钥匙，可以选择k个宝箱，询问能开启所有宝箱的概率。

Solution

　　我们一看就知道这是一道概率DP的题目。

　　我们发现，每个宝箱有一个对应的钥匙，那么显然若干个宝箱会构成一个环，只要开了一个环中的一个宝箱就可以开启这个环。

　　那么我们要求的就是：在n个数中选k次，已知每个环的大小，选中环中的一个元素即视为选中了这个环，问每个环都被至少选了一次的概率。

　　显然直接记概率不好计算，于是我们可以算出可行的方案数。

　　我们先求出每个环的大小，然后令 f[i][j] 表示前 i 个环选了 j 个元素的方案数，那么显然可以枚举这一个环中选了几个，那么显然有：

　　然后我们最后用 f[num][k] / 总方案数 C(n,k) 即可。注意要用double来存，否则数字不够大。

Code

 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 using namespace std;  
 
 const int ONE=;
 
 int T,n,k;
 int a[ONE],vis[ONE],cnt;
 int ring[ONE],num;
 int record;
 double C[ONE][ONE];
 double f[ONE][ONE];
 
 int get()
 {
         int res=,Q=;char c;
         while( (c=getchar())< || c> )
         if(c=='-')Q=-;
         res=c-;
         while( (c=getchar())>= && c<= )
         res=res*+c-;
         return res*Q;
 }
 
 void Solve()
 {
         n=get();    k=get();
 
         for(int i=;i<=n;i++) a[i]=get(),vis[i]=;
         num=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(vis[i]) continue;
             int x=i;
             cnt=;
             for(;;)
             {
                 vis[x]=; x=a[x]; cnt++;
                 if(x==i) break;
             }
             ring[++num]=cnt;
         }
 
         memset(f,,sizeof(f));
         f[][]=; record=;
         for(int i=;i<=num;i++)
         {
             record+=ring[i];
             for(int j=;j<=record;j++)
             {
                 for(int x=;x<=ring[i] && x<=j;x++)
                 {
                     f[i][j] += f[i-][j-x] * C[ring[i]][x];
                 }
             }
         }
 
         cout<<(double)f[num][k]/C[n][k]<<endl;
 }
 
 int main()
 {
         C[][]=;
         for(int i=;i<=;i++)
         {
             C[i][]=;
             for(int j=;j<=;j++)
             C[i][j]=C[i-][j-]+C[i-][j];
         }
 
         T=get();
         while(T--)
             Solve();
 
 }