洛谷 P2734 游戏 A Game
题目背景
有如下一个双人游戏:N(2 <= N <= 100)个正整数的序列放在一个游戏平台上,游戏由玩家1开始,两人轮流从序列的任意一端取一个数,取数后该数字被去掉并累加到本玩家的得分中,当数取尽时,游戏结束。以最终得分多者为胜。
题目描述
编一个执行最优策略的程序,最优策略就是使玩家在与最好的对手对弈时,能得到的在当前情况下最大的可能的总分的策略。你的程序要始终为第二位玩家执行最优策略。
输入输出格式
输入格式:
第一行: 正整数N, 表示序列中正整数的个数。
第二行至末尾: 用空格分隔的N个正整数(大小为1-200)。
输出格式:
只有一行,用空格分隔的两个整数: 依次为玩家一和玩家二最终的得分。
输入输出样例
6
4 7 2 9 5 2
18 11
说明
题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 3.3
思路:
经典的区间型动态规划的题。
状态只有2种:从左边拿和从右边拿。
假设当前状态a1,a2,a3,a4,a5,如果第一个人选最左边的,则问题转化为四个数a2,a3,a4,a5,然后第二个人先选,由于题目说第二个人方案也最优,所以选的也是最优方案,即f[i+1][j];先选右边同理。
f[i][j]表示i~j区间段第一个人选的最优方案。
所以dp转移方程为:f[i][j]=max{ sum[i+1][j]-f[i+1][j]+ai,sum[i][j-1]-f[i][j-1]+aj }
sum[i][j]其实就等于sum[1][j]-sum[1][i-1],于是我们用一个s数组,s[i]表示前1~i个数的和,就好了。
所以dp转移方程也可写成f[i][j]=max((s[j]-s[i-1])-f[i+1][j],(s[j]-s[i-1])-f[i][j-1]);
根据dp转移方程我们可以发现,要得到状态f[i][j],必须要得到状态f[i+1][j]和f[i][j-1]。然后我们就可以写出程序了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,w[],s[],f[][];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++){
scanf("%d",&w[i]);
s[i]=s[i-]+w[i];
f[i][i]=w[i];
}
for(int i=n;i>=;i--)
for(int j=i+;j<=n;j++)
f[i][j]=max((s[j]-s[i-])-f[i+][j],(s[j]-s[i-])-f[i][j-]);
cout<<f[][n]<<" "<<s[n]-f[][n];
}
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