HDU 5984(求木棒切割期望 数学)
题意是给定一长为 L 的木棒,每次任意切去一部分直到剩余部分的长度不超过 D,求切割次数的期望。
若木棒初始长度不超过 D,则期望是 0.000000;
设切割长度为 X 的木棒切割次数的期望是 F(X).
则 F(X) = F(切割点位置为 0 ~ D) + F(切割点位置为 D ~ X ) + 1;(此处的 +1 是指首次切割产生的次数)
而 F(切割点位置为 0 ~ D ) = 0;(因为已无需再切割)
令下一次切割点的位置为 T,
F(切割点位置为 D ~ X ) = 在D~X上积分 ( 1 / X ) * F( T ) dT ;(在长度为 X 的木棒上选择到任何一点切割的概率为 1 / X)
F( X ) = F(切割点位置为 0 ~ D) + F(切割点位置为 D ~ X ) + 1 = 0 + 在D~X上积分 ( 1 / X ) * F( T ) dT + 1
两边求导:F‘( X ) = - ( 1 / X² ) * ∫ F( T ) dT + F( X ) / X;(积分区间均为 D ~ X)
又: F( X ) = ∫ ( 1 / X ) * F( T ) dT + 1
得: - ( 1 / X² ) * ∫ F( T ) dT = ∫ ( 1 / X ) * F( T ) dT / ( -1 / X ) = ( F(X) - 1 ) / ( -1 / X )
则: F’( X ) = - ( 1 / X² ) * ∫ F( T ) dT + F( X ) / X = ( F(X) - 1 ) / ( -1 / X ) + F( X ) / X = 1 / X
即: F( X ) = ln( X ) + C ( C为常数 )
由 F( D ) = 1,得:C = 1 - ln( D )
得:F( L ) = ln( L ) + 1 - ln( D ) = log( L / D ) + 1.
代码如下:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int t;
double l,d;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%lf%lf",&l,&d);
if(l<=d) puts("0.000000");
else printf("%.6lf\n",log(l/d)+);
}
return ;
}
感谢这些博客的作者:
https://blog.csdn.net/jay__bryant/article/details/81188557
https://blog.csdn.net/blue_skyrim/article/details/53262572
https://www.cnblogs.com/Yumesenya/p/7657820.html
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