luogu P2123 皇后游戏

传送门

跟国王游戏一样的分析

考虑相邻的两个大臣,设他们前面的\(\sum a_j\)为\(s\),同时注意到后面人的贡献更大

所以\(i\)在前面时,\(c_j=\max(\max(c_{last},s+a_i)+b_i,s+a_i+a_j)+b_j\)

\(j\)在前面时,\(c_i=\max(\max(c_{last},s+a_j)+b_j,s+a_i+a_j)+b_i\)

如果最优方案里\(i\)在\(j\)前面,则刚才的\(c_j<c_i\)

即$$\max(\max(c_{last},s+a_i)+b_i,s+a_i+a_j)+b_j<\max(\max(c_{last},s+a_j)+b_j,s+a_i+a_j)+b_i$$$$\max(c_{last}+b_i+b_j,s+a_i+b_i+b_j,s+a_i+a_j+b_j)<\max(c_{last}+b_j+b_i,s+a_j+b_j+b_i,s+a_i+a_j+b_i)$$$$\max(a_i+b_i+b_j,a_i+a_j+b_j)<\max(a_j+b_j+b_i,a_i+a_j+b_i)$$$$\max(b_i,a_j)+a_i+b_j<\max(b_j,a_i)+a_j+b_i$$$$\max(a_j,b_i)-a_j-b_i<\max(a_i,b_j)-a_i-b_j$$

这时左右两边分别等价于\(-\min(a_j,b_i),-\min(a_i,b_j)\),进一步化简得\(\min(a_i,b_j)<\min(a_j,b_i)\)

然后直接这样做就可以了

吗?

其实布星,这个条件不满足传递性,导致可能多次交换后使得后面结果变大 具体是什么我也讲不清

观察条件\(\min(a_i,b_j)<\min(a_j,b_i)\),这是要我们把\(a\)小的,\(b\)大的放前面,同时考虑\(a,b\)大小关系

对于所有\(a<b\)的,就按\(a\)升序排序

对于所有\(a>b\)的,就按\(b\)降序排序

\(a=b\)好像是用脚随便放( 就直接和第一种情况合并救星了

对于所有情况,考虑\(a_i<b_i\ a_j>b_j\),根据\(\min(a_i,b_j)<\min(a_j,b_i)\),则显然是把\(a<b\)的放在\(a>b\)的之前

总结:记\(d_i=\min(a_i,b_i)\)然后对三元组\(\{a_i,b_i,d_i\}\)按\(d_i\)升序排序,然后如果\(a_i=d_i\)放前面,否则放后面

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define il inline
#define re register
#define db double
#define eps (1e-5)
using namespace std;
const int N=20000+10;
il LL rd()
{
    re LL x=0,w=1;re char ch;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*w;
}
struct nn
{
  int d,a,b;
  bool operator < (const nn &bb) const {return d<bb.d;}
}z[N];
LL n,a[N],b[N],c[N];
int main()
{
  int T=rd();
  while(T--)
    {
      n=rd();
      for(int i=1;i<=n;i++)
        {
          int x=rd(),y=rd();
          z[i].a=x,z[i].b=y,z[i].d=min(x,y);
        }
      sort(z+1,z+n+1);
      for(int i=1,l=1,r=n;i<=n;i++)
        {
          if(z[i].d==z[i].a) a[l]=z[i].a,b[l]=z[i].b,++l;
          else a[r]=z[i].a,b[r]=z[i].b,--r;
        }
      c[1]=a[1]+b[1];
      LL su=a[1];
      for(int i=2;i<=n;i++)
        {
          su+=a[i];
          c[i]=max(c[i-1],su)+b[i];
        }
      printf("%lld\n",c[n]);
    }
  return 0;
}