题解【CF1444A Division】

题面

• t 组数据。

• 给定参数 p,q，求一个最大的 x，满足 \((x|p)∧(q∤x)\)。

• \(1\le t \le 500\)，\(1\le p \le10^{18}\)，\(2\le q\le10^9\),

• \(1S\)，\(512MB\)。

思路

• 当 \(p < q\) 时 或 \(q∤p\),答案显然是 \(p\)，直接输出即可

• 当 \(q | p\)，即 \(q\) 是 \(p\) 的因子时

• 我们可以将 \(p\) , \(q\) 质因数分解，让 \(p\) 去除以 \(q\)的质因子，直到 \(p\) 不能被 \(q\) 整除，

• \(p\) 中比 \(q\) 大的质因子是对上面没有影响的，因此仅考虑\(q\) 的质因子

• 相比于删除多种质因子，只删一种的方案更优

• 穷举删除，找到最大值即可

• 复杂度\(O\) (\(t \sqrt{q}\))

---

推论

• 分解质因数 \(p,q,x\)

  \[p=\prod a_i^{b_1}
  \]
  \[q=\prod a_i^{b_2}
  \]
  \[x=\prod a_i^{b_3}
  \]

• 因为条件是 \((x|p)∧(q∤x)\) 即:

  \[p = k \times x =k\times \prod a_i^{b_3}(k\in N^*)
  \]
  \[∃a_i|q,b_3<b_2
  \]

• 换句话说, \(x\) 中的包含 \(q\) 中的质因子，且质因子数量 \(<q\),可以为 \(0\)

• 因此要找的 \(x\) 就是 \(p\) 中删除部分质因子后的数，使得达到上述条件

• 相比删除多种，只需使一种质因子数量不满足上述条件即可，即只删一种

• 枚举 \(q\) 的所有质因子计算即可

Code

#include <iostream>//声明：luckyblock的思路
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#define int long long //我用 int 来代替 long long
using namespace std;

const int manx=1e6+10;
const int mamx = 1e6 + 11;
const int B = 1e6 + 11;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

inline int read() {
  char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
  for ( ; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -1;
  for ( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);
  return x * f;
}

signed main(){
	int t = read();
	while(t--){
		int ans = 1;
		int  p = read(),q = read();//看清上边备注，和数据范围
		int s = p;
		if(p < q){cout<<p<<endl;continue;}
		if(p % q != 0){cout<<p<<endl;continue;}
		for(int i = 2;i*i <= q; i++){//枚举q中每一个“因子”
			if(q%i == 0){
				int jsq = 0,jsp = 0;
				while(q % i == 0ll){ // 取模最好类型相同
					q = q / i;
					jsq ++;
				}
				while(p % i == 0ll){
					p /= i;
					jsp ++;
				}
				if(jsp < jsq) continue;//说明该 “因子 ”非 “质因子 ”
				int jj =  s;//因为 q p 时刻都在更新，所以预处理 用其他变量代替。
				for(int k = 1; k <=jsp - jsq + 1;k++){
					jj /= i;
				}
				ans = max(jj,ans);
			}
		}
		if(q != 1){//比q大的质因子，注：此时的p q 以被更新，所存的数中不存在共同的质因子
			int jsp = 0;
			while(p % q == 0){
				p /= q;
				jsp++;
			}
			int jj = s;
			for(int i = 1; i <= jsp;i ++){
				jj /= q;
			}
			//cout<<jj<<endl;
			ans = max(jj,ans);
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}