CF535E Tavas and Pashmaks 单调栈、凸包
题意:有一场比赛,$N$个人参加。每个人有两种参数$a,b$,如果存在正实数$A,B$使得$\frac{A}{a_i} + \frac{B}{b_i}$在$i=x$处取得最大值(可以有多个最大值),则称选手$x$可以夺冠。问共有多少人能够夺冠。$N \leq 2 \times 10^5 , 1 \leq a , b \leq 10^4$
考虑将$(\frac{1}{a_i},\frac{1}{b_i})$看做平面上的点,我们的目标就是在这些点上求目标函数$z=Ax+By$的最小值(线性规划),而对于每一条这样的直线,都一定是与某一个凸包切于一个点或与这个凸包中的某条线重合。可以考虑到这就是若干$(\frac{1}{a_i},\frac{1}{b_i})$的点构成的左下凸包(也就是一个完整凸多边形的左下部分)。将点从大到小排序之后使用单调栈维护凸包即可。
有一个很重要的剪枝:当$a_i \leq a_j , b_i \leq b_j$时,$i$号无需计算
还要注意$a,b$相同的人的计算。
UPD:似乎上面很抽象,画个图解释一下
我们把上面的剪枝做完之后,得到的所有点的坐标横坐标递增,纵坐标递减,且都分布在第一象限。
画在图上就是这样子:
话说Dia画点竟然要用圆形填充,所以点会很大
我们考虑这些点在$z=Ax + By$的目标函数上的最小取值(也就是取一个点带入函数中,使得$z$最小)。
先说结论:不论$A,B$如何取值,最小值一定在下图图形中连上的点上取到。
那么为什么中间那个没连上的点不能取到最优解呢?
我们按照斜率绝对值从大到小观察选点情况,可以知道随着斜率绝对值变小,选择的点的横坐标会不断增加,一个点会成为最优解对应的斜率范围会是一段区间,也就是当斜率越过这个点对应的最优解区间之后,这个点一定不会对最优解产生贡献了。
那么我们考虑在什么情况下最优解会从一个点转移到另一个点。
我们将点从左往右编号。考虑上面两条直线。可以知道当直线的斜率在$[k2,k1]$范围内时,$2$号点会产生最优解,而当$k=k1$时,$4$号点也会产生最优解,而当$k \geq k1$时,最优解就会从$2$号点转移为$4$号点了。
所以我们可以发现,最优解转移时直线的斜率就是这两个点之间的斜率。
接下来我们考虑如何排除非最优解了。
考虑上图中从$2$号点转移到$3$号点与$4$号点的情况。我们发现从$2$号点转移到$3$号点的斜率是$k2$,而从$2$号点转移到$4$号点的斜率是$k1$,且$k1 < k2$。这意味着斜率绝对值从大到小的过程中,$4$号点会比$3$号点先到达最优解转移时的斜率,所以$2$号点的最优解会先转移到$4$号点,而$3$号点无法从$2$号点转移,就是无用的节点了。
所以依据上面的研究,我们可以通过单调栈维护这样子的一个类似凸多边形的结构,模型如下:
①把$1$号点与$2$号点加入栈中
②准备加入一个新的点$i$
③考虑当前栈中是否有无用节点。我们设栈顶下标为$hd$,我们就可以考虑$Stack_{hd}$与$i$从$Stack_{hd - 1}$转移最优解时的斜率(也就是$Stack_{hd}$与$i$和$Stack_{hd - 1}$相连得到的直线的斜率),如果$i$的斜率绝对值大于$Stack_{hd}$的斜率,弹出栈顶,如果栈大小大于$1$,进入③,否则进入④
④加入当前点。如果还有新的点,进入②,否则进入⑤
⑤统计单调栈内的点,对应答案。
#include<bits/stdc++.h> #define ld long double #define eps 1e-10 using namespace std; inline int read(){ ; char c = getchar(); while(!isdigit(c)) c = getchar(); while(isdigit(c)){ a = (a << ) + (a << ) + (c ^ '); c = getchar(); } return a; } ; struct point{ int a , b , ind; }now[MAXN]; int nxt[MAXN] , pre[MAXN] , S[MAXN] , tl; bool can[MAXN]; bool cmp(point a , point b){ if(a.a == b.a) return a.b > b.b; return a.a > b.a; } ld calcK(point a , point b){ return (ld)a.a * b.a * (b.b - a.b) / a.b / b.b / (b.a - a.a); } int main(){ int N = read(); ; i <= N ; i++){ now[i].a = read(); now[i].b = read(); now[i].ind = i; nxt[i] = i + ; pre[i] = i - ; } sort(now + , now + N + , cmp); ].b; //双向链表排除冗余状态 ; i <= N ; i++) if(now[i].b <= maxB){ nxt[pre[i]] = nxt[i]; pre[nxt[i]] = pre[i]; } else maxB = now[i].b; S[] = ; tl = ; //通过斜率维护单调栈(与斜率优化很相似) ] ; i <= N ; i = nxt[i]){ && calcK(now[i] , now[S[tl - ]]) < calcK(now[S[tl - ]] , now[S[tl - ]])) tl--; S[tl++] = i; } ; i < tl ; i++){ can[now[S[i]].ind] = ; //还原原来位置相同的点 ; j <= N && now[S[i]].a == now[j].a && now[S[i]].b == now[j].b ; j++) can[now[j].ind] = ; } ; i <= N ; i++) if(can[i]) printf("%d " , i); ; }
鉴于某人说我直接蒯题解,再来更个精度易爆炸的做法
考虑$\frac{A}{a_i} + \frac{B}{b_i}$,除掉$B$可以得到一个自变量为$\frac{A}{B}$的线,将这些线用斜率优化的方式加入就可以了,实质也是维护一个凸包。但是这种做法对于精度要求很高,似乎要把斜率与截距同乘$10^9$才能保证精度(或者使用一般式)
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