UVa 1639 Candy (数学期望+组合数学+高精度存储)
题意:有两个盒子各有n个糖,每次随机选一个(概率分别为p,1-p),然后吃掉,直到有一次,你打开盒子发现,没糖了!
输入n,p,求另一个盒子里糖的个数的数学期望。
析:先不说这个题多坑,首先要用long double来实现高精度,我先用的double一直WA,后来看了题解是用long double,
改了,可一直改不对,怎么输出结果都是-2.00000,搞了一晚上,真是无语,因为我输入输出数据类型是long double,
结果一直不对 ,可能是我的编译器是C89的吧,和C语言,输入输出格式不同,但是我改成C99也不对。。。
最后一看题解明白了,输入输出不需要那么高的精度,用double就足够了,可算是废了一晚上的时间。。。悲惨
下面分析这个题:
首先我们不知道最后打开的是哪个盒子,所以我们需要都考虑,当最后打开是第一个时,此时另一个有i个,那么在些之前一定是打开过
n+(n-i)次盒子,其中n次是第一个盒子,n-i次是第二个盒子,这是明显是一个二项分布,所以概率为C(2n-i, n)pn+1(1-p)n-i,这个地方
一定要注意是n+1,不是n,因为我们也要把最后一次的算上。
这个式子很明显是正确的,但是有一个大问题,那就是C(2n-i, n)这数据实在是太大了(因为n太大了),肯定无法用整形保存,
甚至无法用浮点保存,所以我们对它进行高精度处理,大数选的是对数法,令v1(i) = ln(C(2n-i, n)) + (n+1)ln(p) + (n-i)ln(1-p).
这个地方一定是加减,不是乘除,这是对数,刚开始又忘了,结果一直不对。。。
那么最后打开的是第一个盒子数学期望是ev1(i)。
同理最后一个打开的是第二个盒子时,对数为v2(i) = ln(C(2n-i, n)) + (n+1)ln(1-p) + (n-i)ln(p),概率为ev2(i)。
那么总的数学期望是sum{i*(ev1(i)+ev2(i))}((ev1(i)+ev2(i))这个是概率)。
这个题需要高精度,所以用long double来存储,真是坑。。。。很难想到。
代码如下:
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath> using namespace std;
typedef long double LD;
const int maxn = 400000 + 10;
LD log_ld[maxn]; void init(){
log_ld[1] = 0.0;
for(int i = 2; i < maxn; ++i)
log_ld[i] = log_ld[i-1] + (LD)log((LD)i);
} double solve(int n, LD p){
LD ans = 0.0;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
ans += (LD)i * exp(log_ld[2*n-i] - log_ld[n] - log_ld[n-i] + (LD)(n+1)*log(p) + (LD)(n-i)*log(1.0-p)); for(int i = 1; i <= n; ++i)
ans += i * exp(log_ld[2*n-i] - log_ld[n] - log_ld[n-i] + (LD)(n+1)*log(1.0-p) + (LD)(n-i)*log(p));
return ans;
} int main(){
// freopen("in.txt", "r", stdin);
int n, kase = 0;
double p;
init(); while(~scanf("%d %lf", &n, &p)){
double ans = solve(n, p);
printf("Case %d: %.6f\n", ++kase, ans);
}
return 0;
}
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