[LeetCode每日一题]1143. 最长公共子序列

问题

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

输入：text1 = "abc", text2 = "def"

输出：0

解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

1 <= text1.length, text2.length <= 1000

text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

简单的动态规划，z大神秒杀的那种，本菜鸡瑟瑟发抖。

解题思路

求两个数组或者字符串的最长公共子序列问题，肯定是要用动态规划的。

首先，区分两个概念：子序列可以是不连续的；子数组（子字符串）需要是连续的；

另外，动态规划也是有套路的：单个数组或者字符串要用动态规划时，可以把动态规划 dp[i] 定义为 nums[0:i] 中想要求的结果；当两个数组或者字符串要用动态规划时，可以把动态规划定义成两维的 dp[i][j] ，其含义是在 A[0:i] 与 B[0:j] 之间匹配得到的想要的结果。

1.状态定义

比如对于本题而言，可以定义 dp[i][j]表示 text1[0:i-1] 和 text2[0:j-1] 的最长公共子序列。（注：text1[0:i-1] 表示的是 text1 的第 0 个元素到第 i - 1 个元素，两端都包含）

之所以 dp[i][j] 的定义不是 text1[0:i] 和 text2[0:j] ，是为了方便当 i = 0 或者 j = 0 的时候，dp[i][j]表示为空字符串和另外一个字符串的匹配，这样 dp[i][j] 可以初始化为 0.

2.状态转移方程

知道状态定义之后，我们开始写状态转移方程。

当 text1[i - 1] == text2[j - 1] 时，说明两个子字符串的最后一位相等，所以最长公共子序列又增加了 1，所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1；举个例子，比如对于 ac 和 bc 而言，他们的最长公共子序列的长度等于 a 和 c 的最长公共子序列长度 0 + 1 = 1。

当 text1[i - 1] != text2[j - 1] 时，说明两个子字符串的最后一位不相等，那么此时的状态 dp[i][j] 应该是 dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1] 的最大值。举个例子，比如对于 ace 和 bc 而言，他们的最长公共子序列的长度等于 ① ace 和 b 的最长公共子序列长度0 与 ② ac 和 bc 的最长公共子序列长度1 的最大值，即 1。

综上状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1dp[i][j]=dp[i−1][j−1]+1, 当 text1[i - 1] == text2[j - 1];text1[i−1]==text2[j−1];

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−1]), 当 text1[i - 1] != text2[j - 1]text1[i−1]!=text2[j−1]

3.状态的初始化

初始化就是要看当 i = 0 与 j = 0 时， dp[i][j] 应该取值为多少。

当 i = 0 时，dp[0][j] 表示的是text1中取空字符串跟text2的最长公共子序列，结果肯定为 0.

当 j = 0 时，dp[i][0] 表示的是text2中取空字符串跟text1的最长公共子序列，结果肯定为 0.

综上，当 i = 0 或者 j = 0 时，dp[i][j] 初始化为 0.

4.遍历方向与范围

由于 dp[i][j] 依赖与 dp[i - 1][j - 1] , dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]，所以i和j的遍历顺序肯定是从小到大的。

另外，由于当 ii 和 jj 取值为 0 的时候，dp[i][j] = 0，而 dp 数组本身初始化就是为 0，所以，直接让 i 和 j 从 1 开始遍历。遍历的结束应该是字符串的长度为 len(text1) 和 len(text2)。

5.最终返回结果

由于 dp[i][j] 的含义是 text1[0:i-1] 和 text2[0:j-1] 的最长公共子序列。我们最终希望求的是 text1 和 text2 的最长公共子序列。所以需要返回的结果是 i = len(text1) 并且 j = len(text2) 时的 dp[len(text1)][len(text2)]。

代码

经过上面的分析，我们可以得到下面的代码。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

class Solution {

	public:

		int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {

			int m = text1.length(), n = text2.length();

			vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));

			for (int i = 1; i <= m; i++) {

				char c = text1.at(i - 1);

				for (int j = 1; j <= n; j++) {

					char b = text2.at(j - 1);

					if (c == b) {

						dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

					} else {

						dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

					}

				}

			}

			cout << dp[m][n] << endl;

			return dp[m][n];

		}

};

int main() {

	Solution s;

	string text1, text2;

	text1 = "abcde", text2 = "ace";

	s.longestCommonSubsequence(text1, text2);

	return 0;

}