正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3507


题目大意

\(n\)个数字的一个序列\(a\),对于每个位置\(i\)求一个\(p_i\)使得对于任意\(j\)满足

\[p_i+a_i-\sqrt{|i-j|}\geq p_j
\]

解题思路

化简一下发现我们是需要求出\(max\{\sqrt{|i-j|}+p_j\}\)

分成两次去掉绝对值。

因为这个根号的性质是增长的越来越小,那么对于一个位置\(i\)若它的\(max\)值位置为\(j\),那么\(i+1\)就一定不小于\(j\)。

利用这个单调性来优化,我们每次直接对于区间正中间\(mid\)暴力求出它的答案\(pos\),那么\([l,mid-1]\)的答案就在\([L,pos]\),而\([mid+1,r]\)的答案就在\([pos,R]\)。

然后递归下去就好了。时间复杂度\(O(n\log n)\)


code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e5+10;
ll n;double a[N],f[N],sqr[N];
stack<ll> s;
double count(ll i,ll j)
{return a[j]+sqr[abs(j-i)];}
void CDQ(ll l,ll r,ll L,ll R){
if(l>r)return;
ll mid=(l+r)>>1,pos=L;
double tmp=count(mid,L);
for(int i=L+1;i<=R&&i<=mid;i++)
if(count(mid,i)>tmp)
pos=i,tmp=count(mid,i);
f[mid]=max(tmp,f[mid]);
CDQ(l,mid-1,L,pos);CDQ(mid+1,r,pos,R);
return;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);
for(ll i=1;i<=n;i++){
scanf("%lf",&a[n-i+1]);
sqr[i]=sqrt((double)i);
}
CDQ(1,n,1,n);
for(ll i=1;n-i+1>i;i++)
swap(a[i],a[n-i+1]),swap(f[i],f[n-i+1]);
CDQ(1,n,1,n);
for(ll i=1;i<=n;i++)
printf("%lld\n",(ll)ceil(f[i]-a[i]));
return 0;
}

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