[hdu6326]Monster Hunter
考虑树是以1为中心的菊花图的情况,也即如何安排打怪兽的顺序
用二元组$(a,b)$来描述怪兽,则对于两个怪兽$(a_{1},b_{1})$和$(a_{2},b_{2})$,交换两者不会影响血量的变化量,而会改变初始血量的需求,具体即比较$\max(a_{1},a_{1}-b_{1}+a_{2})$和$\max(a_{2},a_{2}-b_{2}+a_{1})$
如果能证明传递性,那么以此进行排序即可
观察上述式子,可以得到以下信息:
1.$a\le b$的怪兽优于$a>b$的怪兽
2.对于$a\le b$的怪兽,$a$小的怪兽优于$a$大的怪兽
3.对于$a>b$的怪兽,$b$大的怪兽优于$b$小的怪兽
(代入均可证明)
进而上述信息足以比较,同时也具有传递性,即得证
回到原问题,有一个比较经典的套路:
考虑当前最优的位置,其父亲的怪兽被打死后一定会打其(注意怪兽只会被消除而不会增加),进而不妨将其与父亲合并(先打父亲再打其),合并方式参考之前
关于过程的维护,可以用一个并查集+set实现
时间复杂度为$o(n\log n)$,可以通过
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 100005
4 #define ll long long
5 struct Data{
6 ll a,b;
7 bool operator < (const Data &k)const{
8 if ((a<=b)!=(k.a<=k.b))return a<=b;
9 if (a<=b)return a<k.a;
10 return b>k.b;
11 }
12 }a[N];
13 vector<int>v[N];
14 set<pair<Data,int> >S;
15 int t,n,x,y,fa[N],f[N];
16 Data merge(Data x,Data y){
17 ll a=max(x.a,x.a-x.b+y.a);
18 return Data{a,x.b+y.b-x.a-y.a+a};
19 }
20 int find(int k){
21 if (k==f[k])return k;
22 return f[k]=find(f[k]);
23 }
24 void dfs(int k,int f){
25 fa[k]=f;
26 for(int i=0;i<v[k].size();i++)
27 if (v[k][i]!=f)dfs(v[k][i],k);
28 }
29 void merge(int x,int y){
30 x=find(x),y=find(y);
31 if (x!=1)S.erase(make_pair(a[x],x));
32 f[y]=x,a[x]=merge(a[x],a[y]);
33 if (x!=1)S.insert(make_pair(a[x],x));
34 }
35 int main(){
36 scanf("%d",&t);
37 while (t--){
38 scanf("%d",&n);
39 a[1]=Data{0,0},S.clear();
40 for(int i=1;i<=n;i++)v[i].clear();
41 for(int i=2;i<=n;i++){
42 scanf("%lld%lld",&a[i].a,&a[i].b);
43 S.insert(make_pair(a[i],i));
44 }
45 for(int i=1;i<n;i++){
46 scanf("%d%d",&x,&y);
47 v[x].push_back(y);
48 v[y].push_back(x);
49 }
50 dfs(1,0);
51 for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
52 for(int i=1;i<n;i++){
53 int x=(*S.begin()).second;
54 S.erase(S.begin());
55 merge(fa[x],x);
56 }
57 printf("%lld\n",a[1].a);
58 }
59 return 0;
60 }
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