Missing Data in Kernel PCA

目录

• 引
• 主要内容
  • 关于缺失数据的导数
• 附录
  • 极大似然估计
• 代码

Sanguinetti G, Lawrence N D. Missing data in kernel PCA[J]. european conference on machine learning, 2006: 751-758.

引

普通的kernel PCA是通过\(K\)，其中\(K_{ij} = \Phi^T(y_i) \Phi(y_j)\)来获得，很显然，如果数据有缺失，就不能直接进行kernel PCA了，这篇文章所研究的问题就是，在数据有缺失的情况下，该怎么进行kernel PCA。

这篇文章的亮点，在我看来，是将kernel PCA和数据缺失结合起来。把kernel 去掉，已经有现存的文章了，至少那篇PPCA就是一个例子吧。kernel的作用就是，非显示地将样本映射到高维空间，所以，就得想办法把这玩意儿给造出来。

假设样本已经中心化。

主要内容

在PPCA中，每个样本服从：

\[y_i = W x_i + \epsilon
\]

其中\(y_i \in \mathbb{R}^d\)为样本，\(x_i \in \mathbb{R}^q\)为隐变量，\(W \in \mathbb{R}^{d \times q}， d > q\)，\(\epsilon \sim N(0, \sigma^2 I)\)。

PPCA中，假设\(x_i\)服从一个正态分布，而作者是通过一个对偶，将\(W\)设置为随机向量，每个\(w_{ij} \sim N(0,1)\)（说实话，我对啥是对偶越来越晕了），通过将\(W\)积分掉，可得：

\[y^{(j)} \sim N(0, XX^T + \sigma^2I)
\]

其中，\(y^{(j)}\)是\(Y\)的第j列，\(Y\)的第i行是\(y_i\)，\(X\)的第i行是\(x_i\)。这个的证明和在贝叶斯优化中推导的证明是类似的，这里就不多赘述了。

其似然函数关于\(X\)求极大可以得到：

\[X = U \Lambda R
\]

其中\(U\)是\(K=\frac{1}{d}YY^T\)的特征向量，而

\[\Lambda = (V - \sigma^2 I)^{\frac{1}{2}}
\]

其中\(V\)是\(U\)所对应的特征值，而\(R\)是任意的正交矩阵。

虽然论文里没讲，但是\(\sigma^2\)d的估计应该是下面的这个吧：

\[\sigma^2 = \frac{1}{N-q}\sum_{i=q+1}^N \lambda_i
\]

这部分的推导见附录。

上面的过程可以这么理解，我们用\(XX^T + \sigma^2 I\)来近似\(K\)，因为实际上，似然函数有下面的形态（舍掉了一些常数）：



上面这个式子不仅是对数似然函数，也是交叉熵，交叉熵又和K-L散度(描述俩个分布之间距离的)有关，所以我们极大化似然函数的过程，实际上就是在找一个\(K\)的近似\(C\)。

直到现在，我们依然没有将kernel结合进去，注意到：

\[K = \frac{1}{d}YY^T
\]

\(K_{ij} = \frac{1}{d}y_i^T y_j\)，所以，对于任意的\(\Phi(\cdot)\)作用于\(y_i\)，

\[K_{ij} = \frac{1}{d}\Phi^T(y_i)\Phi(y_j)
\]

kernel PCA呼之预出，我们逼近\(K\)实际上就是去近似kernel PCA。

这里有一个假设，就是\(y_i\)是已知的，如果\(y_i\)是缺失的，那么我们没有办法找到\(C\)，现在的问题也就是有缺失数据的时候，如何进行kernel PCA。

根据上面的分析，很自然的一个想法就是，先通过插补补全数据，计算\(K\)，然后再计算\(C\)，这个时候，似然函数里面，将缺失数据视作变量，再关于其最小化交叉熵，反复迭代，直至收敛，便完成了缺失数据下的kernel PCA。我有点搞不懂为什么是最小化交叉熵了，如果我没理解错，这里的交叉熵是指-L吧。俩个分布的交叉熵如下：

\[-\int p(x) \ln q(x) \mathrm{d}x
\]

所以\(N(0,K),N(0,C)\)的交叉熵应该是-L。而且，我做了实验，至少只有极大化似然函数，结果才算让人满意。所以文章中的交叉熵应该是-L，所以我们要做的就是最小化交叉熵，最大化似然函数。

关于缺失数据的导数

假设\(C\)是已知的，\(Y_{ij}\)是缺失的，那么我们希望关于\(Y_{ij}\)最大化下式（擅作主张了）：



记\(C^{-1}\)的第\(i\)列(行)为\(c\)(因为是对称的)，假设kernel选择的是\(k(x,y)=\exp \{-\frac{\gamma}{2}(||x-y||_2^2)\}\)

\[\mathrm{d}K_{ik} = -\frac{\gamma}{d} \exp \{-\frac{\gamma}{2}\|Y_i-Y_k\|^2\}(Y_{ij}-Y_{kj}), \quad k \ne i
\]

\[\begin{array}{ll}
\mathrm{d}L &= -\frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\mathrm{d}KC^{-1})\\
&= [\gamma \sum \limits_{k=1}^N K_{ik} (Y_{ij}-Y_{kj})c_k] \mathrm{d}Y_{ij} \\
&= [\gamma Y_{ij} K_i^T c - \gamma K_i^T diag(c)Y^{(j)}] \mathrm{d}Y_{ij}
\end{array}
\]

令其为0，可得：

\[K_i^TcY_{ij} = K_i^T diag(c)Y^{(j)}
\]

这个方程咋子解咯，而且是如果有不止一个缺失值不就凉凉了。

文章说用共轭梯度法，所以说没显示解？

附录

极大似然估计

容易知道，其对数似然函数为：

\[L = -\frac{Nd}{2} \ln 2\pi - \frac{d}{2} \ln |C| - \frac{d\mathrm{Tr}(C^{-1}K)}{2}
\]

其中\(C = XX^T+\sigma^2 I\)，容易获得：

\[\mathrm{d}L = -d\mathrm{Tr}(C^{-1}X \mathrm{d}X^T) + d \mathrm{Tr}(C^{-1}KC^{-1}XdX^T)
\]

所以，在满足下式的点中取得极值：

\[C^{-1}X = C^{-1}KC^{-1}X \\
\Rightarrow \quad KC^{-1}X = X
\]

1. \(X = 0\)， 没有什么意义；

\[X = U\Lambda R
\]

此时\(KC^{-1}X=X\),注意当\(K\)可逆的时候，此时\(KC^{-1}=I\)，但是当\(K\)不可逆的时候，需要用\(K = \sum_{i=1}^l \lambda_i(K)u_i(K)u_i^T(K)\)来考虑(不过凉凉的是，\(\lambda_i \ge \sigma^2\)好像就可能失效了)。

1. 就是PPCA里面讲过的,令\(X=U'L'V'^T\)

\[KU'=U'(\sigma^2 L+L^2)
\]

即\(U'\)为\(K\)的特征向量，结果是类似的。

到这里，我们也只讲了什么点是能取得极值的候选点，为什么取得极值，还是没弄懂。

代码

在做实验的时候，对初始点，也就是缺失值的补全要求还是蛮高的，差20%就GG了，而且开始几步收敛很快，后面收敛超级慢，所以我不知道怎么设置收敛条件了。

import numpy as np

class MissingData:

    def __init__(self, data, index, q):
        """
        :param data:缺失数据集，缺失部分通过平均值补全
        :param index: ij==1表示缺失
        :param q: 隐变量的维度
        """
        self.__data = np.array(data, dtype=float)
        self.__index = index
        self.__n, self.__d = data.shape
        self.gamma = 1 #kernel的参数
        assert self.__d > q, "Invalid q"
        self.q = q

    @property
    def data(self):
        return self.__data

    @property
    def index(self):
        return self.__index

    @property
    def n(self):
        return self.__n

    @property
    def d(self):
        return self.__d

    def kernel(self, x, y, gamma):
        """kernel exp"""
        return np.exp(-gamma / 2 *
                      (x-y) @ (x-y))

    def compute_K(self):
        K = np.zeros((self.n, self.n))
        for i in range(self.n):
            x = self.data[i]
            for j in range(i, self.n):
                y = self.data[j]
                K[i, j] = K[j, i] = self.kernel(x, y, self.gamma)
        self.K = K / self.d

    def ordereig(self, A):
        """晕了，没想到linalg.eig出来的特征值不一定是按序的"""
        value, vector = np.linalg.eig(A)
        order = np.argsort(value)[::-1]
        value = value[order]
        vector = vector.T[order].T
        return value, vector

    def compute_C(self):
        value, vector = self.ordereig(self.K)
        value1 = value[:self.q]
        value1 = value1[value1 > 0]
        value2 = value[self.q:]
        U = vector[:, :len(value1)]
        sigma2 = np.mean(value2)
        self.X = U * np.sqrt(value1 - sigma2)
        self.C = self.X @ self.X.T + sigma2 * np.identity(self.n)
        self.invC = np.linalg.inv(self.C)

    def compute_unit(self, i, j):
        c = self.invC[i]
        return -self.gamma * (
            self.data[i, j] * self.K[i] @ c -
            (self.K[i] * c) @ self.data[:, j]
        )

    def compute_grad(self):
        """计算导数，但愿我的公式没推错"""
        delta = np.zeros((self.n, self.d), dtype=float)
        for i in range(self.n):
            for j in range(self.d):
                if self.index[i, j] == 1:
                    delta[i, j] = self.compute_unit(i, j)
        self.delta = delta

    def likehood(self, K):
        return 1 / 2 * np.trace(K @ self.invC)

    def temp_K(self, data):
        K = np.zeros((self.n, self.n), dtype=float)
        for i in range(self.n):
            x = data[i]
            for j in range(i, self.n):
                y = data[j]
                K[i, j] = K[j, i] = self.kernel(x, y, self.gamma)
        return K / self.d

    def backtrack(self, alpha=0.4, beta=0.7):
        """
        采用回溯梯度下降
        :param alpha:
        :param beta:
        :return:
        """
        count = 0
        time = 0
        self.compute_K()
        self.compute_C()
        self.compute_grad()
        norm = -np.sum(self.delta ** 2)
        t = 1
        L1 = self.likehood(self.K)
        while True:
            time += 1
            while True:
                count += 1
                data = self.data - self.delta * t
                tempK = self.temp_K(data)
                L2 = self.likehood(tempK)
                if L2 > L1 + alpha * t * norm:
                    t = beta * t
                else:
                    self.__data = np.array(data, dtype=float)
                    break
            delta = np.array(self.delta)
            self.compute_K()
            self.compute_grad()
            print(time, count, L1, L2)
            if np.sum((delta - self.delta) ** 2) < 1e-6:
                break
            norm = -np.sum(self.delta ** 2)
            t = 1
            L1 = self.likehood(self.K)
            count = 0

    def processing(self, alpha=0.4, beta=0.7):
        count = 0
        while count < 7: #我不知道怎么判断收敛就这么玩一玩吧
            count += 1
            print("**********{0}**********".format(count))
            self.backtrack(alpha, beta)