第八个知识点：交互式的定义如何帮助计算和IP类问题是什么

这是系列中的第8篇，我们主要讨论计算中交互作用的用处和IP类问题是什么.

为了回答这些问题，我们首先给交互式证明系统一个简洁的介绍.众所周知，零知识证明在密码协议中十分重要.零知识的概念在这篇介绍中有 [1].这种证明的迷人之处就在于断言的可验证性被证明了.为了解释这个东西，Goldwasser， Micali和Rackoff在经典证明系统上增加两种结构变成了交互式证明系统.第一个结构是随机化(randomisation)，也就是说证明的结果可能是错的，但是这种错误只能以很小的概率出现.第二个结构就是像它名字那样，就是交互性(interaction)，静态证明系统被动态的证明代替，动态证明将于验证程序交互并给出断言是否为真.结合这两种结构的经典证明系统就是一个巨大的复杂类问题---IP.

什么是证明

不严谨的说，一个证明就是一个人能让另一个人相信的方法.这两个人在证明系统中叫prover和verifier.

经典的证明

一个经典的数学证明系统就是固定的一些陈述语句的排列.这些排列被prover写下来，然后verifier一步一步的判断这些陈述语句的正确性.这个过程是没有交互的.

任何证明系统应该有下面的属性:

有效性证明应该是有效率的.
稳定性对于错误的命题，很难有不合法的证明
完整性对任何正确的命题都应该有一个证明

回顾NP复杂类问题被看作是一类语言.它的成员都具有可以轻松检查的证书(注:这里建议读读NP的另一种定义，清晰的解释了这个证书是啥.).因此NP恰好就是一类经典证明的语言.

交互式证明系统

在一个交互式证明系统里，prover和verifier被允许交互式的交换信息.在引入交互证明的概念之前，我们来给出一个例子来解释交互式证明系统是怎么工作的.

例子:图的同构和图的非同构

两个图G和H被叫做同构的，如果G的节点可以重新排列使得它可以和H节点相同.我们定义下面这类语言:

$ISO = \{ <G,H>| G\space and\space H\space are \space isomorphic\space graphs \}$

ISO是NP类的语言.尽管节点的数量可能非常大，但是我们能非常容易的验证这个问题.

然后我们考虑ISO问题的补，即Non-isomorphism问题，就是定义语言:

$NOISO = \{ <G,H>| G\space and\space H\space are\space not \space isomorphic\space graphs \}$

问题是，使用经典的证明我们如何给verifier证明G和H不是同构的.我们不知道如何提供一个短的证明，多项式时间无法对每个情况进行检查.因为我们不知道如何证明NOISO在NP中.然而在考虑到交互式证明，prover可以说服verifier，这两个图是不同构的(多项式时间内).

prover和verifier都有一对图$(G_1，G_2)$作为初始输入.verifier随机的选择一个随机比特(bit)$b \in \{ 0，1\}$和一个排列$\pi$.然后将$\pi$应用到$G_b$得到一个图$H$.(这里意思就是说$H$和$G_b$同构)verifier发送$H$给prover.然后prover在收到$H$之后，prover发送一比特$b^{'} \in \{0，1\}$给verifier.最后verifier接受当且仅当$b^{'}=b$.

在协议背后的观点就是，如果被给的$(G_1，G_2)$不是同构的，那么prover应该能够确定$H$是来自于$G_1$或者$G_2$的.然而，如果输入的两个图是同构的，那么尽管有着无限的计算能力，prover最好的选择就是随机的猜$b^{'}$.这种情况下，prover至少1/2的接受.

从上面的例子中，我们总结NOISO不能被verifier用一个古典的证明系统证明.但是它可以被一个交互的证明系统证明.我们能看到交互的力量.

现在我们给出交互式证明系统的定义和IP复杂类的定义.

交互式证明系统:一对交互机$(P，V)$被叫做$L$语言的交互式证明系统，如果V是多项式时间的，(P的计算能力是无限的)，和现在的条件满足:

完整性:对所有的$x \in L$，$Pr[<P,V> (x)=1] \ge 2/3$
稳定性:对所有的$x \in L$，$Pr[<P,V>(x)=1] \le 1/3$

IP类复杂问题:IP类问题包含所有交互式证明系统能证明的语言.

通过定义，在BPP语言中的所有语言都在IP中.如果我们限制交换的信息的数量为1，那么这就是IP中的NP类问题.实际上，IP是一个很大的类.在1992年，Shamir证明了$PSPACE = IP$[3].

额外的，注意到协议prover应该抛出私有的硬币，如果prover被允许访问verifier的随机字符串，就会导致使用共有硬币的交互式证明，这种模型和AM复杂类[4]很像.

[1] http://dl.acm.org/citation.cfm?id=63434

[2] http://www.amazon.co.uk/Introduction-Theory-Computation-Michael-Sipser/dp/0619217642

[3] http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=146585.146609

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Arthur–Merlin_protocol