并查集实现Tarjan算法

本文是对http://noalgo.info/476.html的一点理解，特别是对其中

int father[mx]；  //节点的父亲
int ancestor[mx]; //已访问节点集合的祖先

这两个数组作用的解释；

首先必须明确，并查集重建的树跟原来的树并不一样；

还是借用该文章的例子：

Tarjan算法是基于DFS(深度优先搜索)， 图中的树深度优先遍历的顺序应该是:

->->->->->->->

但作者却说，节点的处理顺序为:

->->->->->->->

其实， 这里第一种顺序是我们处理查询请求的顺序，例如我们遍历到5， 则我们可以获得 5与5之前的所有已经遍历过的节点即(5,4) (5,7)的查询结果;

第二种顺序则是我们建立并查集的顺序

关键代码如下：

 void Tarjan(int x) //Tarjan算法求解LCA
 {
     for (int i = ; i < tree[x].size(); i++)
     {
         Tarjan(tree[x][i]);         //访问子树
         unionSet(x, tree[x][i]); //将子树节点与根节点x的集合合并，这里是并查集处理节点x
         ancestor[findSet(x)] = x;//合并后的集合的祖先为x
     }
     vs[x] = ; //标记为已访问， 这里是DFS遍历节点x
     for (int i = ; i < query[x].size(); i++) //与根节点x有关的查询
         if (vs[query[x][i]]) //如果查询的另一个节点已访问，则输出结果
             printf("%d和%d的最近公共祖先为：%d\n", x,
                     query[x][i], ancestor[findSet(query[x][i])]);
 }

两者顺序不同的原因在于下面的第6行和第9行代码，我们在还未遍历父节点的时候，处理第一个子树后，父节点就已经在并查集内了；例如我们还没有遍历节点1，在遍历节点4后，就会处理节点4与其父节点1的合并；

下面，我们来慢慢建立并查集的树；

第一步：

遍历过的元素{4}, 集合[4]｛4｝->4

第二步：

集合{4}与父节点{1}按秩合并， 合并后的集合为{4,1}，集合代表元素为4，即father[4] = 4， father[1] = 4； 集合{4，1}的公共祖先为1，ancestor[4] = 1; 即这个集合的代表元素并不是它的公共祖先

第三步：

遍历过的元素有{4,7}, 有两个集合[4]{4,1}和[7]{7},  ([]里面的元素为代表元素，{}的元素为集合内的所有元素), 此时， 若查询(7,4), 则4已经遍历过， 访问4所在集合的代表元素为 father[4],  集合4的公共祖先为ancestor[father[4]]

第四步:

遍历过的元素有{4,7,5}, 集合[7]{7}合并集合[5]{5}为[7]{7,5}, ancestor[7] = 5

.....

遍历完根节点的第一棵子树后， 集合[7]{4,1,5,7} 与根节点集合[0]{0}合并为[7]{0,1,4,5,7}, 即father[0]=7, 同时更新集合的公共祖先ancestor[7]=0;

最后遍历过的元素{4,7,5,1,2,6,3,0}, 集合为[7]{4,7,5,1,2,6,3,0}, ancestor[7] = 0

为方便理解，最后的图是没有经过路径压缩的， 实际上应该是所有元素的父节点皆为集合代表元素7