Hash学习小结

Hash

简要说明

• \(OI\)中一般采用进制\(hash\).模数可以用\(unsigned \ long \ long\)自然溢出,也可以使用大质数.值得一提的是,\(unsigned\ long\ long\)的优点是好写,不用取模,缺点是可能会被良心出题人卡.如果为了万无一失,可以写双模数\(hash\),这个东西在绝大多数情况下可以保证正确性(参见Hash Killer III).
• 关于进制\(hash\)两个最基础的东西:

\(Hash[0]=0.Hash[i]=Hash[i]*Base+s[i]\ for\ i>0.\)

\(hash(l,r)=Hash[r]-Hash[l-1]*Base^{r-l+1}.\)

• 如果两个字符串按照如上算法得出的\(hash\)值相等,我们认为这两个字符串是相同的.
• 下面是最近整理的关于\(hash\)的一些基础题.

题目

子串查找

• 题意:给两个字符串\(a,b\),询问\(b\)在\(a\)的几个位置出现过.
• 此题用\(hash\)做的话,只需求出字符串\(b\)的\(hash\)值,在字符串\(a\)中\(O(n)\)枚举每个长度等于\(|b|\)的子串,判断\(hash\)值是否相等即可.

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#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp='0'&&jp

图书管理

• 题意:你需要维护一个字符串集合,支持插入字符串和询问一个字符串是否在其中.
• 将每个字符串通过计算\(hash\)转化为整数,开一个桶记录是否出现过即可.

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#include
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp='0'&&jp

Power Strings

• 题意:求一个字符串的最短循环节长度.
• 暴力枚举循环节长度,对于每个可以整除总长度的循环节长度,依次算出每段的\(hash\)值,若全部相等,说明这是一个合法的循环节.
• 这样枚举的时间复杂度为\(O(n\cdot lnn)\),因为这是一个调和级数,函数\(lnx\)与它是共犯.
• 此题还可用\(fail(next)\)数组计算.最小循环节长度为\(\frac{n}{n-fail[n]}\),若其为整数.否则为\(|S|\).
• 后面还有一个相似的题,所以此题并没有代码.

Seek the Name, Seek the Fame

• 题意:找出一个字符串中既是前缀又是后缀的子串的所有长度.
• 此题使用\(hash\)十分简单,直接枚举每个前缀,与长度相等的后缀比较即可.

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#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp='0'&&jp=1;--i)
				printf("%d ",ans[i]);
			puts("");
		}
	return 0;
}

三个朋友

• 现在有一个字符串\(U\),是由\(S\)复制一次自身拼接后,再插入一个字符得到的.给出\(U\),若\(S\)唯一存在,求出\(S\),否则输出不存在或有多个.
• 做法十分暴力.直接枚举是插入的哪一个字符.然后通过进制\(hash\)良好的运算能力求出两侧的\(hash\)值比较即可.注意细节的实现.

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#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp='0'&&jpr)
		return 0;
	return (Hash[r]-Hash[l-1]*Pow[r-l+1]);
}
inline ull mergehash(ull hash1,ull hash2,int len)
{
	return hash1*Pow[len]+hash2;
}
int main()
{
	n=read();
	scanf("%s",s+1);
	if(n%2==0)
		{
			puts("NOT POSSIBLE");
			return 0;
		}
	Pow[0]=1;
	for(int i=1;in/2)
				{
					for(int i=1;i

A Horrible Poem

• 题意:给定一个字符串\(S\),询问若干次,每次询问\(S\)某个子串的最短循环节.
• 此题和\(Power\ Strings\)类似,但要询问子串的答案多次.
• 考虑\(kmp\)的做法,计算\(fail\)其实只需检验最长前后缀公共长度.
• 用\(hash\)判断,每次枚举这个子串长度的质因数进行检验.若\(d\)不是循环节长度,显然\(kd(k\in \mathbb{N_+})\)也不可能是循环节长度.可以作为一个小优化.

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#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp='0'&&jpMAXN)
						break;
					ism[prime[j]*i]=1;
					mindiv[i*prime[j]]=prime[j];
					if(i%prime[j]==0)
						break;
				}
		}
}
inline ull calchash(int l,int r)
{
	return Hash[r]-Hash[l-1]*Pow[r-l+1];
}
inline int judge(int l,int r,int len)
{
	return (calchash(l,l+len-1)==calchash(r+1-len,r));
}
int main()
{
	n=read();
	scanf("%s",s+1);
	Pow[0]=1;
	Hash[0]=0;
	for(int i=1; i

Beads

• 题意:求一个串的最大循环节数目,这里规定最后一段不足循环节长度的段可以舍弃,并且段可以反转,即\(123\)和\(321\)被视作等价.
• 显然只需要正着反着处理两个\(hash\)值,由于可以舍去最后一段,所以我们不使用计算\(fail\)的办法,而是\(O(n\cdot lnn)\)暴力枚举即可.

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#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp='0'&&jp Hash;
ull prehash[MAXN],sufhash[MAXN];
ull Pow[MAXN];
int ans[MAXN],tp=0;
int res[MAXN];
int n,maxx=0;
int s[MAXN];
int main()
{
	n=read();
	Pow[0]=1;
	for(int i=1;imaxx)
				maxx=res[i],tp=0;
			if(res[i]==maxx)
				ans[++tp]=i;
		}
	printf("%d %d\n",maxx,tp);
    for(int i=1;i

Antisymmetry

• 题意:定义反对称串是指满足取反后再前后翻转,恰好与原串相同的\(01\)串.现在给定一个\(01\)串,求出它的子串中反对称串的个数.
• 不难发现,一个反对称串长度一定为偶数,且后半段取反后形成回文串.
• 枚举每个位置作为对称中心,只用二分找出最大的半径长度.每次去掉两端的数后仍为反对称串,这个对称中心形成的共有半径长度个反对称串.
• 检验时比较前半段\(hash\)值和后半段取反且逆向维护的\(hash\)值即可.

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#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp='0'&&jp>1;
			if(calchash(x-mid+1,x,0)==calchash(x+1,x+mid,1))
				res=mid,l=mid+1;
			else
				r=mid-1;
		}
	return 1LL*res;
}
int main()
{
	n=read();
	scanf("%s",s+1);
	Pow[0]=1;
	for(int i=1;i=1;--i)
		revHash[i]=revHash[i+1]*Base+(('1'-s[i])^1);
	for(int i=1;i

门票

• 题意:给定一个一阶线性递推关系的数列,求出前\(2e6\)项中是否出现了循环.若有,输出开始循环的位置.数列中元素\(\leq 1e9\).内存限制\(4M\).
• 比较直接的想法是开\(map\)水过去,但大概率会\(TLE\),且超过了空间限制.
• 做法是\(hash\),将出现过的元素模上大质数后记录.但这样直接压缩,显然极容易造成\(hash\)冲突.一个简单的办法是模两个大质数,双\(hash\)即可解决问题.
• 另一个做法是离线,将前\(2e6\)个数全部算出来,离散化后处理.这样做每次都是严格\(O(2e6\cdot log(2e6))\)的,可能会被卡常.但优点是有绝对严谨的正确性保证.

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#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp='0'&&jp=0);
			if(vis[res%P1][0]!=0 && vis[res%P1][0]==vis[res%P2][1])
				{
					printf("%d\n",i);
					return;
				}
			if(!vis[res%P1][0])
				vis[res%P1][0]=i;
			if(!vis[res%P2][1])
				vis[res%P2][1]=i;
		}
	puts("-1");
}
int main()
{
	a=read(),b=read(),c=read();
	A=a,B=b,C=c;
	solve();
	return 0;
}

收集雪花

• 题意:给\(n\)个数,求区间内数字都不重复的最大区间长度.元素大小\(\leq 1e9\),\(n \leq 1e6\).
• 数据结构学多了使人变傻.
• 首先需要离散化或\(hash\),将值域控制在\(1e6\)的级别.
• 然后,若直接上主席树,每次二分答案,枚举左端点,是\(O(nlog^2n)\)的,十分弱智.
• 优秀的做法是\(Two\ Pointers.\)维护两个指针\(l,r\),不断往后跳,同时用类似于莫队的方法维护当前区间内颜色种类数目.合法时更新答案.
• 这样每个指针最多跳\(n\)次,一共跳\(2n\)次,相当优秀.

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#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp='0'&&jp

## 小结
- 字符串 $Hash$ 在 $OI$ 中十分优秀,尤其是进制 $Hash$ .通过 $Hash$ ,我们可以将字符串比较是否相等的 $O(n)$ 降至 $O(1)$ ,这样以来,许多十分暴力的思想/做法也可以通过.
- 离散化也可以算作是 $Hash$ 的一种,不过在转化的同时还要保证大小关系.