牛客NOIP暑期七天营-提高组6

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官方题解

A-积木大赛
B-破碎的序列
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C-分班问题
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A-积木大赛

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题解

标签：模板题，一点点思维+二维差分+二维前缀和

借这道题机会复习了一下二维差分+二维前缀和这两个东西。

首先题目让我们求总的表面积，实际上可以拆分成两部分：上下表面积+前后左右表面积

1.上下表面积的话，根据俯视图想一想，就是有被积木覆盖额面积$*2$；

2.前后左右表面积的话，感性理解一下，只要他的高度大于他的前/后/左/右的积木高度，那么它这一块就可以露出来，所以就是与前后左右积木高度的差值。

这两个问题都要用到在某一坐标积木的高度。那只要二维差分一下，最后统计一下二维前缀和，就可求得那个位置上积木的高度了。二维差分可以自己根据求二维前缀和的过程推一下。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

bool nc1;

const int N=5010;

int p[N][N],n,m,q;

const int dx[]={-1,1,0,0},dy[]={0,0,-1,1};

inline bool ok(int x,int y){

    if(x<1||y<1||x>n||y>m)return 0;

    return 1;

}

bool nc2;

int main(){

    //cout<<(&nc2-&nc1)/1024<<endl;

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);

    while(q--){

        int a,b,c,d;

        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);

        p[a][b]++;

        p[a][d+1]--;

        p[c+1][b]--;

        p[c+1][d+1]++;

    }

    for(register int i=1;i<=n;i++)

        for(register int j=1;j<=m;j++)p[i][j]=p[i-1][j]+p[i][j-1]+p[i][j]-p[i-1][j-1];

    long long up=0,ans=0;

    for(register int i=1;i<=n;i++)for(register int j=1;j<=m;j++){

        if(!p[i][j])continue;

        up++;

        int tmp=ans;

        for(register int k=0;k<=3;k++){

            int x=dx[k]+i,y=dy[k]+j;

            if(!ok(x,y))ans+=p[i][j];

            else if(p[i][j]>p[x][y])ans+=p[i][j]-p[x][y];

        }

    }

    printf("%lld\n",2*up+ans);

}

B-破碎的序列

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题解

标签：化简问题+计数Dp

先看看题面当她开心时(m=1)她喜欢不存在长度为奇数且大于1的回文子串的数列,当她不开心时(m=0)她喜欢不存在长度为偶数且大于1的回文子串的数列 。仔细想想根本不用搞什么回文串，化简题意后就是：

当m=1时：$a[i]!=a[i+2]$

当m=0时：$a[i]!=a[i+1]$

看数据范围$n,k<=2e5$，很明显是个计数Dp（当然也可以不用Dp，直接用数学方法计算，但Dp比较直观暴力）。定义状态$dp[i][0/1]$表示现在合法地填完了数列的前$i$项，且第$i$项与$nxt[i]$是否相同(0/1)时的方案数。

完整代码如下，可以在理解cas1的前提下再去看cas2，总时间复杂度为$O(N)$。

#include<bits/stdc++.h>

#define mod 998244353

using namespace std;

const int N=2e5+10;

int n,m,k,a[N],nxt[N];

int dp[N][2];

void cas1(){//a[i]!=a[i+1]

	for(int i=n;i>=1;i--){

		if(!a[i+1])nxt[i]=nxt[i+1];

		else nxt[i]=a[i+1];

	}

	if(a[1]&&a[1]==nxt[1])dp[1][1]=1;

    else if(a[1])dp[1][0]=1;

	else{dp[1][1]=1;dp[1][0]=k-1;}

	for(int i=2;i<=n;i++){

		if(a[i]&&a[i]==nxt[i])dp[i][1]=dp[i-1][0];

		else if(a[i])dp[i][0]=dp[i-1][0];

		else{

			dp[i][1]=dp[i-1][0];

			dp[i][0]=1ll*dp[i-1][0]*(k-2)%mod;

			dp[i][0]+=1ll*dp[i-1][1]*(k-1)%mod;

			dp[i][0]%=mod;

		}

	}

    printf("%d\n",(dp[n][0]+dp[n][1])%mod);

}

void cas2(){//a[i]!=a[i+2]

	for(int i=n-2;i>=1;i--){

		if(!a[i+2])nxt[i]=nxt[i+2];

		else nxt[i]=a[i+2];

	}

	for(int i=1;i<=2;i++){

		if(a[i]&&a[i]==nxt[i])dp[i][1]=1;

		else if(a[i])dp[i][0]=1;

		else{dp[i][1]=1;dp[i][0]=k-1;}

	}

	for(int i=3;i<=n;i++){

		if(a[i]&&a[i]==nxt[i])dp[i][1]=dp[i-2][0];

		else if(a[i])dp[i][0]=dp[i-2][0];

		else{

			dp[i][1]=dp[i-2][0];

			dp[i][0]=1ll*dp[i-2][0]*(k-2)%mod;

			dp[i][0]+=1ll*dp[i-2][1]*(k-1)%mod;

			dp[i][0]%=mod;

		}

	}

	int res1=(dp[n-1][0]+dp[n-1][1])%mod,res2=(dp[n][0]+dp[n][1])%mod;

	printf("%d\n",1ll*res1*res2%mod);

}

int main(){

    scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);

    if(m==0)cas1();

    else cas2();

    return 0;

}

C-分班问题

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题解

标签：组合数+数学推导化简+Lucas定理

这道题官方题解写的非常详细，这里完整过程就不赘述了。讲一下主要的解题过程

一、40%数据($n,m,T<=2000$)的暴力做法根据题意很好推出：

for(int i=1;i<=min(n,m);i++)ans+=C(n,i)*C(m,i)*2*i;

组合数可以在$O(N^2)$时间内预处理出，每个询问可以在$O(N)$的时间内完成。

二、60%数据($T<=1e5,n,m<=1e6$)做法可以根据通过数学化简上面那个$O(N)$循环：

ans=2*m*C(n+m-1,n-1)

先在$O(N)$时间内预处理出$1e6$范围内的模逆元和阶乘，然后询问就可以在$O(1)$时间内解决了。但现在的瓶颈在于$O(N)$预处理，所以下面考虑使用Lucas定理。

三、100%数据($T<=1e5,n,m<=1e18$)

发现$n,m$过大按常规方法无法求得组合数，并且题目给定的模数为质数，所以可以使用$Lucas定理$解决，关于Lucas定理。

#include<bits/stdc++.h>

#define mod 19260817

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=mod+10;

int mny[N],fac[N];

inline ll read(){

    ll x=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();

    return x;

}

int ksm(int x,int d){

	int res=1;

	while(d){

		if(d&1)res=1ll*res*x%mod;

		x=1ll*x*x%mod;d>>=1;

	}

	return res;

}

void init(){//预处理阶乘fac，模逆元mny

	fac[0]=1;

	for(int i=1;i<mod;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;

	mny[mod-1]=ksm(fac[mod-1],mod-2);

	for(int i=mod-2;i>=0;i--)mny[i]=1ll*mny[i+1]*(i+1)%mod;

}

int C(ll a,ll b){//Lucas

	if(a<b)return 0;

	if(a>=mod)return 1ll*C(a%mod,b%mod)*C(a/mod,b/mod)%mod;

	return (1ll*fac[a]*mny[a-b]%mod)*mny[b]%mod;

}

int main(){

	init();

	int T=read();

	while(T--){

		ll n=read(),m=read();

		printf("%d\n",1ll*2*m%mod*C(n+m-1,n-1)%mod);

	}

}

最后bb一句：这是牛客最后一场了，第2,4,5场由于题目质量不佳没时间写就空着了qwq