JOISC2014 挂饰("01"背包)
传送门:
[1]:洛谷
[2]:BZOJ
参考资料:
[1]:追忆:往昔
•题解
上述参考资料的讲解清晰易懂,下面谈谈我的理解;
关键语句:
将此题转化为 "01背包" 类问题,关键就是上述语句;
据此,定义 dp[ i ][ j ] 表示前 i 个物品在钩子剩余 j 个的状态下所获得的最大喜悦值;
细节处理:
为了应对负数的情况,让 dp[ i ][ j ] 的下标 j 全部增加 2000 ,这样就可以表示在负数范围内的值了。
状态转移:
首先,初始化 dp[][] 数组为 -INF,并令 dp[0][2001]=0(初始手机上含有一个挂钩);
for(int i=;i <= n;++i)
{
a[i]--;
for(int j=;j <= ;++j)
{
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-][j]);
if(dp[i][j] == -INF)
continue; int k=min(j+a[i],);
dp[i][k]=max(dp[i][k],max(dp[i-][j]+b[i],dp[i-][k]));
}
}解释1:挂饰 i 可以提供 ai 个挂钩,但是,要把它挂到手机上需要消耗一个挂钩,所以,挂饰 i 额外提供 ai-1 个挂钩;
解释2:第6行的更新是必不可少的,手动测试如下样例便可明白:
解释3:第 11 行,dp[ i ][ k ] 只受状态 dp[ i-1 ][ j ] 和 dp[ i-1 ][ k ] 的影响,为什么在判断的时候需要额外与 dp[ i ][ k ] 判断呢?
仔细看一下 k,如果 j+a[ i ] 超过上界 4000,那么 k = 4000,对于超过 4000 的肯定都更新到了 dp[ i ][ 4000 ]上;
所以,dp[ i ][ 4000 ] 会首其他状态的影响,而不只是上述两种状态的影响;
验证解释3的正确性:
将第 11 行代码改成如下所示代码(AC):
if(k < )
dp[i][k]=max(dp[i-][j]+b[i],dp[i-][k]);
else
dp[i][k]=max(dp[i][k],max(dp[i-][j]+b[i],dp[i-][k]));而改成如下所示代码(WA):
dp[i][k]=max(dp[i-][j]+b[i],dp[i-][k]);
•Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const int maxn=2e3+; int n;
int a[maxn];
int b[maxn];
int dp[maxn][maxn<<]; int Solve()
{
for(int i=;i <= n;++i)
for(int j=;j <= ;++j)
dp[i][j]=-INF; dp[][]=;
for(int i=;i <= n;++i)
{
a[i]--;///物品i本身需要占用一个钩子,所以其可以提供的钩子个数为a[i]-1
for(int j=;j <= ;++j)
{
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-][j]); if(dp[i][j] == -INF)
continue; int k=min(j+a[i],);
dp[i][k]=max(dp[i][k],max(dp[i-][j]+b[i],dp[i-][k]));
}
}
int ans=;
for(int i=;i <= ;++i)
ans=max(ans,dp[n][i]);
return ans;
} int main()
{
// freopen("C:\\Users\\hyacinthLJP\\Desktop\\in&&out\\contest","r",stdin);
scanf("%d",&n);
for(int i=;i <= n;++i)
scanf("%d%d",a+i,b+i); printf("%d\n",Solve()); return ;
}二维dp
•利用滚动数组降低dp的维数
•Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const int maxn=2e3+; int n;
int a[maxn],b[maxn];
int dp[maxn<<]; int Solve()
{
mem(dp,-INF);
dp[]=; for(int i=;i <= n;++i)
{
a[i]--;
if(a[i] > )
{
for(int j=;j >= ;--j)
{
if(dp[j] == -INF)
continue;
int k=min(j+a[i],);
dp[k]=max(dp[j]+b[i],dp[k]);
}
}
else
{
for(int j=;j <= ;++j)
{
if(dp[j] == -INF)
continue;
dp[j+a[i]]=max(dp[j]+b[i],dp[j+a[i]]);
}
}
}
int ans=;
for(int i=;i <= ;++i)
ans=max(ans,dp[i]); return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i <= n;++i)
scanf("%d%d",a+i,b+i); printf("%d\n",Solve()); return ;
}一维dp(滚动数组)
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