JOISC2014 挂饰（"01"背包）

传送门：

　　[1]:洛谷

　　[2]:BZOJ

参考资料：

　　[1]:追忆：往昔

•题解

　　上述参考资料的讲解清晰易懂，下面谈谈我的理解；

　　关键语句：

　　

　　将此题转化为 "01背包" 类问题，关键就是上述语句；

　　据此，定义 dp[ i ][ j ] 表示前 i 个物品在钩子剩余 j 个的状态下所获得的最大喜悦值；

　　细节处理：

　　

　　为了应对负数的情况，让 dp[ i ][ j ] 的下标 j 全部增加 2000 ，这样就可以表示在负数范围内的值了。

　　状态转移：

　　首先，初始化 dp[][] 数组为 -INF，并令 dp[0][2001]=0（初始手机上含有一个挂钩）；

 for(int i=;i <= n;++i)
 {
     a[i]--;
     for(int j=;j <= ;++j)
     {
         dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-][j]);
         if(dp[i][j] == -INF)
             continue;

         int k=min(j+a[i],);
         dp[i][k]=max(dp[i][k],max(dp[i-][j]+b[i],dp[i-][k]));
     }
 }    

　　解释1：挂饰 i 可以提供 a_i 个挂钩，但是，要把它挂到手机上需要消耗一个挂钩，所以，挂饰 i 额外提供 a_i-1 个挂钩；

　　解释2：第6行的更新是必不可少的，手动测试如下样例便可明白：

　　解释3：第 11 行，dp[ i ][ k ] 只受状态 dp[ i-1 ][ j ] 和 dp[ i-1 ][ k ] 的影响，为什么在判断的时候需要额外与 dp[ i ][ k ] 判断呢？

　　　　　  仔细看一下 k，如果 j+a[ i ] 超过上界 4000，那么 k = 4000，对于超过 4000 的肯定都更新到了 dp[ i ][ 4000 ]上;

　　　　　  所以，dp[ i ][ 4000 ] 会首其他状态的影响，而不只是上述两种状态的影响；

　　验证解释3的正确性：

　　将第 11 行代码改成如下所示代码（AC）：

 if(k < )
     dp[i][k]=max(dp[i-][j]+b[i],dp[i-][k]);
 else
     dp[i][k]=max(dp[i][k],max(dp[i-][j]+b[i],dp[i-][k]));

　　而改成如下所示代码（WA）：

 dp[i][k]=max(dp[i-][j]+b[i],dp[i-][k]);

•Code

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 const int maxn=2e3+;

 int n;
 int a[maxn];
 int b[maxn];
 int dp[maxn][maxn<<];

 int Solve()
 {
     for(int i=;i <= n;++i)
         for(int j=;j <= ;++j)
             dp[i][j]=-INF;

     dp[][]=;
     for(int i=;i <= n;++i)
     {
         a[i]--;///物品i本身需要占用一个钩子，所以其可以提供的钩子个数为a[i]-1
         for(int j=;j <= ;++j)
         {
             dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-][j]);

             if(dp[i][j] == -INF)
                 continue;

             int k=min(j+a[i],);
             dp[i][k]=max(dp[i][k],max(dp[i-][j]+b[i],dp[i-][k]));
         }
     }
     int ans=;
     for(int i=;i <= ;++i)
         ans=max(ans,dp[n][i]);
     return ans;
 }

 int main()
 {
 //    freopen("C:\\Users\\hyacinthLJP\\Desktop\\in&&out\\contest","r",stdin);
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i <= n;++i)
         scanf("%d%d",a+i,b+i);

     printf("%d\n",Solve());

     return ;
 }

二维dp

•利用滚动数组降低dp的维数

　　

•Code

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 const int maxn=2e3+;

 int n;
 int a[maxn],b[maxn];
 int dp[maxn<<];

 int Solve()
 {
     mem(dp,-INF);
     dp[]=;

     for(int i=;i <= n;++i)
     {
         a[i]--;
         if(a[i] > )
         {
             for(int j=;j >= ;--j)
             {
                 if(dp[j] == -INF)
                     continue;
                 int k=min(j+a[i],);
                 dp[k]=max(dp[j]+b[i],dp[k]);
             }
         }
         else
         {
             for(int j=;j <= ;++j)
             {
                 if(dp[j] == -INF)
                     continue;
                 dp[j+a[i]]=max(dp[j]+b[i],dp[j+a[i]]);
             }
         }
     }
     int ans=;
     for(int i=;i <= ;++i)
         ans=max(ans,dp[i]);

     return ans;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i <= n;++i)
         scanf("%d%d",a+i,b+i);

     printf("%d\n",Solve());

     return ;
 }

一维dp（滚动数组）