自然数幂求和——第二类Strling数

这个问题似乎有很多种求法，但感觉上第二类Strling数的做法是最方便的。

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问题

求下面这个式子：

∑i=0nik\sum_{i=0}^n i^ki=0∑n​ik

nnn的范围可以很大。

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第二类Strling数

第二类Strling数记作S(n,m)S(n,m)S(n,m)、SnmS_n^mSnm​。

定义：将nnn个相同的球放在mmm个不同的箱子里的方案数（其中的每一个箱子至少有一个球）。

很容易推出一个式子：Snm=Sn−1m−1+mSn−1mS_n^m=S_{n-1}^{m-1}+mS_{n-1}^mSnm​=Sn−1m−1​+mSn−1m​。不解释。

有个通项公式，但是我不会推……不过在处理这个问题的时候用不着。

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一个性质

ak=∑i=0kSkii!Caia^k=\sum_{i=0}^kS_k^i i! C_a^iak=i=0∑k​Ski​i!Cai​

如果直接理性地证明可能不容易，所以在这里通过它的定义来推理一下：

对于等式左边，相当于kkk个不同的球放在aaa个不同的箱子里。

对于等式右边，先枚举非空箱子的个数，SkiS_k^iSki​表示kkk个不同的球放在iii个相同的箱子里。乘上i!i!i!相当于放在不同的箱子里，再乘上非空箱子的选法CaiC_a^iCai​。

当然这条式子也可以化成：

∑i=0kSki∏j=a−i+1aj\sum_{i=0}^kS_k^i \prod_{j=a-i+1}^a ji=0∑k​Ski​j=a−i+1∏a​j

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推理

先把结论放在前面：

∑i=0nik=∑i=0kSki∏j=n−i+1n+1ji+1\sum_{i=0}^n i^k=\sum_{i=0}^k\frac{S_k^i\prod_{j=n-i+1}^{n+1}j}{i+1}i=0∑n​ik=i=0∑k​i+1Ski​∏j=n−i+1n+1​j​

证明如下：

∑i=0nik=∑a=0n∑i=0kSkii!Cai=∑i=0kSkii!∑a=0nCai\sum_{i=0}^n i^k \\
=\sum_{a=0}^n\sum_{i=0}^kS_k^i i! C_a^i \\
=\sum_{i=0}^kS_k^i i!\sum_{a=0}^nC_a^i i=0∑n​ik=a=0∑n​i=0∑k​Ski​i!Cai​=i=0∑k​Ski​i!a=0∑n​Cai​

因为a&lt;ia&lt;ia<i时Cai=0C_a^i=0Cai​=0，所以

=∑i=0kSkii!∑a=inCai=\sum_{i=0}^kS_k^i i!\sum_{a=i}^nC_a^i=i=0∑k​Ski​i!a=i∑n​Cai​

由Cmn=Cm−1n−1+Cm−1nC_m^n =C_{m-1}^{n-1}+C_{m-1}^nCmn​=Cm−1n−1​+Cm−1n​得

∑a=inCai=Cii+Ci+1i+⋯+Cni=Cii+1+Cii+Ci+1i+⋯+Cni=Ci+1i+1+Ci+1i+⋯+Cni⋯=Cn+1i+1\sum_{a=i}^nC_a^i=C_i^i+C_{i+1}^i+\cdots +C_n^i \\
=C_i^{i+1}+C_i^i+C_{i+1}^i+\cdots +C_n^i \\
=C_{i+1}^{i+1}+C_{i+1}^i+\cdots +C_n^i \\
\cdots \\
=C_{n+1}^{i+1}
a=i∑n​Cai​=Cii​+Ci+1i​+⋯+Cni​=Cii+1​+Cii​+Ci+1i​+⋯+Cni​=Ci+1i+1​+Ci+1i​+⋯+Cni​⋯=Cn+1i+1​

所以原式又可以化成下面这样：

=∑i=0kSkii!Cn+1i+1=∑i=0kSki∏j=n−i+1n+1ji+1=\sum_{i=0}^kS_k^i i!C_{n+1}^{i+1} \\
=\sum_{i=0}^k\frac{S_k^i\prod_{j=n-i+1}^{n+1}j}{i+1}=i=0∑k​Ski​i!Cn+1i+1​=i=0∑k​i+1Ski​∏j=n−i+1n+1​j​

这样式子就推完了。