gcd,扩展欧几里得,中国剩余定理
1.gcd:
int gcd(int a,int b){
return b==?a:gcd(b,a%b);
}
2.中国剩余定理:
题目:学生A依次给n个整数a[],学生B相应给n个正整数m[]且两两互素,老师提出问题:有一正整数ans,对于每一对数,都有:(ans-a[i])mod m[i]=0.求此数最小为多少。
输入样例:
- - - -
实现代码:
#include <fstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib> using namespace std; #define EPS 1e-6
#define ll long long
#define INF 0x7fffffff int n;
ll a[],m[]; ll ExtendGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y);//扩展欧几里得
ll Crt(ll a[],ll m[],int n);//中国剩余定理 int main()
{
//freopen("D:\\input.in","r",stdin);
//freopen("D:\\output.out","w",stdout);
while(scanf("%d",&n),n){
for(int i=;i<n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
for(int i=;i<n;i++) scanf("%lld",&m[i]);
printf("%lld\n",Crt(a,m,n));
}
return ;
}
ll ExtendGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b){
x=,y=;
return a;
}else{
ll r=ExtendGcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}
}
ll Crt(ll a[],ll m[],int n){
ll mm=;
for(int i=;i<n;i++) mm*=m[i];
ll ret=;
for(int i=;i<n;i++){
ll x,y;
ll tm=mm/m[i];
ExtendGcd(tm,m[i],x,y);
ret=(ret+tm*x*a[i])%mm;
}
return (ret+mm)%mm;
}
这里简单说下扩展欧几里得的推导:
基本算法:对于不完全为 0 的整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
证明:设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
顺便提下中国剩余定理:
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