整数压缩编码 ZigZag

在分析Avro源码时，发现Avro为了对int、long类型数据压缩，采用Protocol Buffers的ZigZag编码（Thrift也采用了ZigZag来压缩整数）。

1. 补码编码

为了便于后面的分析，我们先回顾下几个概念：

• 原码：最高位为符号位，剩余位表示绝对值；
• 反码：除符号位外，对原码剩余位依次取反；
• 补码：对于正数，补码为其自身；对于负数，除符号位外对原码剩余位依次取反然后+1。

补码解决了原码中\(0\)存在两种编码的问题：

\[0=[0000 \enspace 0000]_原=[1000 \enspace 0000]_原
\]

补码\([1000 \enspace 0001]_补\) 表示\(-127\)；此外，原码中还存在加法错误的问题：

\[1 + (-1) = [0000 \enspace 0001]_原 + [1000 \enspace 0001]_原 = [1000 \enspace 0010]原 = -2
\]

若用补码，则可得到正确结果：

\[ 1 + (-1) = [0000 \enspace 0001]_补 + [1111 \enspace 1111]_补 = [0000 \enspace 0000]_补 = 0
\]

因此，在计算机存储整数时，采用的是补码。此外，整数的补码有一些有趣的性质：

• 左移1位（n << 1），无论正数还是负数，相当于乘以2；对于正数，若大于Integer.MAX_VALUE/2（1076741823），则会发生溢出，导致左移1位后为负数
• 右移31位（n >> 31），对于正数，则返回0x00000000；对于负数，则返回0xffffffff

这些性质正好在ZigZag编码中用到了。

2. ZigZag

对于int值1，-1，20151103，均是用4 Bytes来表示：

\[1 = [00 \enspace 00 \enspace 00 \enspace 01] \\
-1 = [ff \enspace ff \enspace ff \enspace ff] \\
20151103 = [01 \enspace 33 \enspace 7b \enspace 3f]
\]

在《Huffman编码》中证明了压缩编码应满足：

高概率的码字字长应不长于低概率的码字字长

一般情况下，使用较多的是小整数，那么较小的整数应使用更少的byte来编码。基于此思想，ZigZag被提出来。

编码

首先，ZigZag按绝对值升序排列，将整数hash成递增的32位bit流，其hash函数为h(n) = (n << 1) ^ (n >> 31)；对应地long类型（64位）的hash函数为(n << 1) ^ (n >> 63)。整数的补码（十六进制）与hash函数的对应关系如下：

n	hex	h(n)	ZigZag (hex)
0	00 00 00 00	00 00 00 00	00
-1	ff ff ff ff	00 00 00 01	01
1	00 00 00 01	00 00 00 02	02
-2	ff ff ff fe	00 00 00 03	03
2	00 00 00 02	00 00 00 04	04
...	...	...	...
-64	ff ff ff c0	00 00 00 7f	7f
64	00 00 00 40	00 00 00 80	80 01
...	...	...	...

拿到hash值后，想当然的编码策略：直接去掉hash值的前导0之后的byte作为压缩编码。但是，为什么ZigZag(64)=8001呢？这涉及到编码唯一可译性的问题，只有当编码为前缀码才能保证可译，即

任意一码字均不为其他码字的前缀

我们来看看，如果按上面的策略做压缩编码，则

h(0) = 0x0 = [00]
h(64) = 0x80 = [80]
h(16384) = 0x8000 = [80 00]

那么，当收到字节流[80 00]时，是应解码为两个整数64, 00，还是一个整数16384？因此，为了保证编码的唯一可译性，需要对hash值进行前缀码编码，ZigZag采用了如下策略：

input: int n
output: byte[] buf

loop
    if 第七位满1或有进位:
        n |= 0x80;
        取低位的8位作为一个byte写入buf;
        n >>>=7（无符号右移7位，在高位插0）;
    else:
        取低位的8位作为一个byte写入buf
end

ZigZag编码的Java实现（从org.apache.avro.io.BinaryData抠出来的）：

/** Encode an integer to the byte array at the given position. Will throw
 * IndexOutOfBounds if it overflows. Users should ensure that there are at
 * least 5 bytes left in the buffer before calling this method.
 * @return The number of bytes written to the buffer, between 1 and 5.
 */
public static int encodeInt(int n, byte[] buf, int pos) {
// move sign to low-order bit, and flip others if negative
  n = (n << 1) ^ (n >> 31);
  int start = pos;
  if ((n & ~0x7F) != 0) {
    buf[pos++] = (byte)((n | 0x80) & 0xFF);
    n >>>= 7;
    if (n > 0x7F) {
      buf[pos++] = (byte)((n | 0x80) & 0xFF);
      n >>>= 7;
      if (n > 0x7F) {
        buf[pos++] = (byte)((n | 0x80) & 0xFF);
        n >>>= 7;
        if (n > 0x7F) {
          buf[pos++] = (byte)((n | 0x80) & 0xFF);
          n >>>= 7;
        }
      }
    }
  }
  buf[pos++] = (byte) n;
  return pos - start;
}

ZigZag是一种变长编码，当整数值较大时，hash值的十六进制的有效位会较长，对应地ZigZag码字会出现需要5 byte存储；比如，

ZigZag(Integer.MAX_VALUE)=[fe ff ff ff 0f]

解码

解码为编码的逆操作，首先，将ZigZag编码还原成hash值，然后用hash函数\(h(n)\)的逆函数\(h^{-1}(n)\) = (n >>> 1) ^ -(n & 1)得到原始的整数值。Java代码实现（在avro源码org.apache.avro.io.BinaryDecoder中）如下：

public static int readInt(byte[] buf, int pos) throws IOException {
  int len = 1;
  int b = buf[pos] & 0xff;
  int n = b & 0x7f;
  if (b > 0x7f) {
    b = buf[pos + len++] & 0xff;
    n ^= (b & 0x7f) << 7;
    if (b > 0x7f) {
      b = buf[pos + len++] & 0xff;
      n ^= (b & 0x7f) << 14;
      if (b > 0x7f) {
        b = buf[pos + len++] & 0xff;
        n ^= (b & 0x7f) << 21;
        if (b > 0x7f) {
          b = buf[pos + len++] & 0xff;
          n ^= (b & 0x7f) << 28;
          if (b > 0x7f) {
            throw new IOException("Invalid int encoding");
          }
        }
      }
    }
  }
  pos += len;
  return (n >>> 1) ^ -(n & 1); // back to two's-complement
}

ZigZag总结如下：

1. ZigZag仅从经验出发，认为较小的整数会有较大的概率出现，故设计编码策略：小整数对应的ZigZag码字短，大整数对应的ZigZag码字长。
2. 但是，在特定的场景下，比如，要传输的整数为大整数居多，ZigZag编码的压缩效率就不理想了。