Flash 解题报告

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Description

给你一颗树，需要把每个点染色，每个点染色时间为\(t_i\)，要求同时染色的点的集合为树的独立集，最小化染色结束时间之和。

其实题面蛮有趣的♂

HINT

\(n\le 2000,t\)为整数

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靠想象力吧，而且感觉这个题可以再优化优化状态之类的..

要先猜出一个结论，保证最优解的情况下每个点开始染色时间集合是有限的，具体的，这个集合大小为\(O(n)\)，即每个点为根的到其他每个点路径上的点权和。

然后一个树形dp就行了

\(dp_{i,j}\)代表子树\(i\)以时间\(j\)开始的最小值

从儿子转移的时候，分两种，一种儿子在它后面染，一种在前面染，分别维护一下前缀最大or最小值，然后二分一下就可以了。

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
const int N=2010;
int head[N],to[N<<1],Next[N<<1],cnt;
void add(int u,int v)
{
    to[++cnt]=v,Next[cnt]=head[u],head[u]=cnt;
}
using std::min;
const ll inf=1ll<<45;
ll dis[N][N],fpre[N][N],fsuc[N][N],dp[N][N],cost[N];
int n;
void dfs1(int now,int fa,ll *dis)
{
    dis[now]=dis[fa]+cost[now];
    for(int v,i=head[now];i;i=Next[i])
        if((v=to[i])!=fa)
            dfs1(v,now,dis);
}
void dfs(int now,int fa)
{
    for(int i=1;i<=n;i++) dp[now][i]=dis[now][i];
    for(int v,i=head[now];i;i=Next[i])
        if((v=to[i])!=fa)
        {
            dfs(v,now);
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                ll mi=inf;
                mi=min(mi,fpre[v][std::upper_bound(dis[v]+1,dis[v]+1+n,dis[now][j]-cost[now])-dis[v]-1]);
                mi=min(mi,fsuc[v][std::lower_bound(dis[v]+1,dis[v]+1+n,dis[now][j]+cost[v])-dis[v]]);
                if(mi<inf&&dp[now][j]!=inf) dp[now][j]+=mi;
                else dp[now][j]=inf;
            }
        }
    fpre[now][0]=fsuc[now][n+1]=inf;
    for(int i=1;i<=n;i++) fpre[now][i]=min(fpre[now][i-1],dp[now][i]);
    for(int i=n;i;i--) fsuc[now][i]=min(fsuc[now][i+1],dp[now][i]);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int u,v,i=1;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",cost+i);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dfs1(i,0,dis[i]);
        std::sort(dis[i]+1,dis[i]+1+n);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%lld\n",fpre[1][n]);
    return 0;
}

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2019.1.5