bzoj网络流
近期看了一些bzoj的网络流,深感智商不够。不过对于网络流又有了进一步的理解。
还是mark一下吧。
献上几篇论文:1)《最小割模型在信息学竞赛中的应用》
1、bzoj1066(最大流)
题意:戳这里
思路:很明显拆点最大流模型,然后对于每个点每个高度流量限为1,那么根据最大流即为可以出去的蜥蜴的数量。
2、bzoj1077(费用流)
3.bzoj1391(最小割)
题意:戳这里
思路:有点像最大权闭合图。。可以利用最小割的性质建图:
<S,任务,收益>
<机器,T,购买费用>,<任务,机器,租用费用>
这样,如果与T相连的边为割,表示购买机器花费更小。
如果与S相连的边为割,表示任务花费太大,不做任务更优(收益为0)。
如果<任务,机器>边为割,表示任务花费太大,不做任务更优(收益为0)。
最后总收益-最大流即为答案
4、bzoj1412(最小割)
题意:有一些格子里是狼,一些里是羊,一些是空的,要使狼和羊的格子不相通,至少要堵多少条边界。
思路:很明显的最小割
5、bzoj1433(二分图匹配)
题意:戳这里
思路:需要床位的为一边,提供床位的为一边,认识连一条边(包括自己跟自己),然后就是一个二分图最大匹配。
6、bzoj1475(最大点独立集)
题意:戳这里
思路:Amber论文里讲到的题目,很明显可以看出是个二分图模型。。
但是不容易看出是求最大点权独立集。那么构图就很显然了。
7、bzoj1497(最大密度子图)
题意:戳这里
思路:可以转化成最小割。具体看Amber论文。
8、bzoj1520(费用流)
题意:戳这里
思路:很明显的最小费用流
9、bzoj1532(最大流+二分)
题意:戳这里
思路:二分最大分数score,那么
<S,人,score>,<人,比赛,1>,<比赛,T,1>
判断流量flow = m
10、bzoj1565(tarjan+最大权闭合图)
题意:戳这里
思路:首先先把保护关系建立有向边,那么如果出现环的话,环里面的所有点,包括他能保护得点都不能取。。
那么剩下的图再进行最大权闭合图的构图
code:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define M0(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define Inf 0x3fffffff
const int maxn = ;
const int maxm = ;
struct oo{
int y, f, next;
};
struct MaxFlow{
int n, S, T, tot;
int son[maxn], dist[maxn], gap[maxn];
oo e[maxm];
int sap(int x, int aug){
if (x == T) return aug;
int mind = n;
int sum = , f;
for (int p = son[x]; p != -; p = e[p].next){
int y = e[p].y;
if (dist[y] + == dist[x] && e[p].f){
f = sap(y, min(e[p].f, aug - sum));
e[p].f -= f;
e[p^].f += f;
sum += f;
if (sum == aug || dist[S] >= n) return sum;
}
if (e[p].f) mind = min(mind, dist[y]);
}
if (!sum){
if (!(--gap[dist[x]])) dist[S] = n;
++gap[dist[x] = mind + ];
}
return sum;
}
void add(int x, int y, int f){
e[tot].y = y; e[tot].f = f;
e[tot].next = son[x]; son[x] = tot++;
e[tot].y = x; e[tot].f = ;
e[tot].next = son[y]; son[y] = tot++;
} void init(int S, int T, int n){
memset(son, -, sizeof(son));
tot = ;
this->S = S, this->T = T, this->n = n;
}
int maxflow(){
M0(gap);
M0(dist);
gap[] = n;
int ans = ;
while (dist[S] < n) ans += sap(S, Inf);
return ans;
}
} F;
vector<int> e[maxn];
int n, m, sum;
int score[][], use[ * ], vis[ * ];
//vector<pair<int, int> > pre[35][35];
void init(){
for (int i = ; i <= n * m; ++i)
e[i].clear();
// for (int i = 0; i <= n; ++i)
// for ()
int k, x, y;
int cur = ;
for (int i = ; i <= n; ++i)
for (int j = ; j <= m; ++j){
scanf("%d%d", &score[i][j], &k);
++cur;
while (k--){
scanf("%d%d", &x, &y);
e[cur].push_back(x*m+y+);
}
if (j > ) e[cur].push_back(cur-);
} }
/*** tarjan-begin ***/
int top, Index, dfn[maxn], low[maxn], stk[maxn], col[maxn], cnt;
bool insta[maxn];
vector<int> co[maxn];
void tarjan(int u){
dfn[u] = low[u] = ++Index;
stk[++top] = u;
insta[u] = true;
int v;
for (int i = ; i < (int)e[u].size(); ++i){
v = e[u][i];
if (!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u] = min(low[v], low[u]);
}
else if (insta[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
if (dfn[u] == low[u]){
++cnt;
while (){
col[stk[top]] = cnt;
insta[stk[top]] = false;
if (stk[top--] == u) break;
}
}
} void tarjan(){
M0(dfn), M0(low), M0(insta), M0(col);
top = cnt = Index = ;
for (int i = ; i <= n*m; ++i)
if (!dfn[i]) tarjan(i);
for (int i = ; i <= n * m; ++i)
co[i].clear();
for (int i = ; i <= n * m; ++i)
co[col[i]].push_back(i);
}
/***tarjan-end ***/ void dfs(const int u){
if (vis[u]) return;
vis[u] = ;
for (int i = ; i < (int)e[u].size(); ++i)
dfs(e[u][i]);
} void solve(){
tarjan();
M0(use);
for (int i = ; i <= cnt; ++i)
if ((int)co[i].size() > ){
for (int j = ; j < (int)co[i].size(); ++j)
use[co[i][j]] = ;
}
M0(vis);
for (int i = ; i <= n * m; ++i)
if (use[i] && !vis[i]) dfs(i);
int S = , T = n *m + ;
F.init(S, T, T + );
int cur = sum = ;
for (int i = ; i <= n; ++i)
for (int j = ; j <= m; ++j){
++cur;
if (vis[cur]) continue;
if (score[i][j] >= )
F.add(S, cur, score[i][j]), sum += score[i][j];
else
F.add(cur, T, -score[i][j]);
for (int k = ; k < (int)e[cur].size(); ++k)
F.add(e[cur][k], cur, Inf);
}
int ans = sum - F.maxflow();
printf("%d\n", ans);
} int main(){
// freopen("a.in", "r", stdin);
while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){
init();
solve();
}
}
11、bzoj1585(最小割)
题意:戳这里
思路:
拆点最小割,保证每个点流量为1
<S, 1, INF>
提到的点x : <x', T, INF>
对于每个点x,为1或是提到的点: <x,x',INF>
对于每个点x,不为1且不是提到的点:<x,x',1>
对于原图每条边x->y: <x', y, INF>和 <y', x, INF>
最大流即为答案。。
ps..这一题跟usaco原题改动有点大。。害我做原题时进坑了。。
12、bzoj1711(最大流)
题意:戳这里
思路:三分图匹配,记得中间那个点要拆点限流量为1
13、bzoj1741(最小点覆盖)
题意:戳这里
思路:把行列抽象出来成为一个二分图,有小行星就连一条边。那么题目就等价与求出最小的点覆盖所有的遍。
14、bzoj1779(拆点最大流)
题意:戳这里
思路:好像还不是很理解。。过后补上。
15、bzoj1797(最小割+tarjan)
题意:戳这里
思路:首先跑一边最大流。然后在残余图中进行tarjan缩点。
那么对于所有满流边:
如果连接S,T两个强联通分量,那么一定是在最小割里。
如果连接两个不同的强联通分量,可能出现在最小割里。
16、bzoj1822(二分+最大流)
题意:戳这里
思路:二分时间t,那么就可以算出在这个时间内每个巫妖可以攻击的数目。
然后建图:
<S, 巫妖, 可攻击数目>,<巫妖,可攻击到的小精灵, 1>,<小精灵, T , 1>
最后判断最大流是否为小精灵个数
比较麻烦的是判断巫妖是否攻击到小精灵,需要一点计算几何知识。
17、bzoj1834(网络流模板)
题意:戳这里
思路:<S, 1, K>, 先跑一边最大流,然后在残余网络的每条边加上一条流量Inf费用为扩容费用的边
18、bzoj1877(最小费用最大流)
题意:戳这里
思路:拆点,然后就是经典构图了
19、bzoj1927(最小费用最大流)
20、bzoj1934(最小割)
题意:戳这里
思路:分集合很典型的最小割的应用
最初选择睡午觉 <S, i, 1>
最初选择不睡午觉 <i, T, 1>
i与j为好友, <i, j, 1> <j, i, 1>
最小割即为答案。。这应该是pty大神论文最简单的应用吧
21、bzoj1937(二分图最大权匹配问题)
题意:戳这里
思路:把所有边分为树边与非树边,那么对于费树边i,连接u,v
权值wi>=wj(所有u,v路径上的边j),所以非树边只有可能变大,树边只有可能变小
即,对于非树边i即路径上的任意树边j:
wi + di >= wj - dj
=> di + dj >= wj - wi
wj-wi为定值,那么等式几乎就跟最大权匹配的顶标的式子一样了。。
套用最大权匹配km算法。。
本来想用费用流,一想到边很多就怂了。。
22、bzoj2039(最小割)
23、bzoj2127(最小割)
题意:戳这里
思路:可利用二元关系建图:
<S, A, w1/2>,<A, T, w2/2>
<S, B, w1/2> , <B,T,w2/2>,
<A, B, (w1+w2)/2>, <B, A, (w1 + w2)/2>
为防止出现小数,可将所有流量都流量*2,最后/2即可。
答案即为sum(喜悦值)- flow
未完待续。。。
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