BZOJ2815:[ZJOI2012]灾难(拓扑排序,LCA)

Description

阿米巴是小强的好朋友。

阿米巴和小强在草原上捉蚂蚱。小强突然想，如果蚂蚱被他们捉灭绝了，那么吃蚂蚱的小鸟就会饿死，而捕食小鸟的猛禽也会跟着灭绝，从而引发一系列的生态灾难。

学过生物的阿米巴告诉小强，草原是一个极其稳定的生态系统。如果蚂蚱灭绝了，小鸟照样可以吃别的虫子，所以一个物种的灭绝并不一定会引发重大的灾难。

我们现在从专业一点的角度来看这个问题。我们用一种叫做食物网的有向图来描述生物之间的关系：

一个食物网有N个点，代表N种生物，如果生物x可以吃生物y，那么从y向x连一个有向边。

这个图没有环。

图中有一些点没有连出边，这些点代表的生物都是生产者，可以通过光合作用来生存； 而有连出边的点代表的都是消费者，它们必须通过吃其他生物来生存。

如果某个消费者的所有食物都灭绝了，它会跟着灭绝。

我们定义一个生物在食物网中的“灾难值”为，如果它突然灭绝，那么会跟着一起灭绝的生物的种数。

举个例子：在一个草场上，生物之间的关系是：

如

如果小强和阿米巴把草原上所有的羊都给吓死了，那么狼会因为没有食物而灭绝，而小强和阿米巴可以通过吃牛、牛可以通过吃草来生存下去。所以，羊的灾难值是1。但是，如果草突然灭绝，那么整个草原上的5种生物都无法幸免，所以，草的灾难值是4。

给定一个食物网，你要求出每个生物的灾难值。

Input

输入文件 catas.in 的第一行是一个正整数 N，表示生物的种数。生物从 1 标

号到 N。

接下来 N 行，每行描述了一个生物可以吃的其他生物的列表，格式为用空

格隔开的若干个数字，每个数字表示一种生物的标号，最后一个数字是 0 表示列

表的结束。

Output

输出文件catas.out包含N行，每行一个整数，表示每个生物的灾难值。

Sample Input

4 5
1 2 3
1 4 5
2 4 7
2 3 6
3 4 8

Sample Output

3 6

Solution

感谢zhhe0101学长orz的耐心讲解
我太菜了听了好久才懂
不过这个题的做法的确是十分精妙的
大体分三步：1、拓扑排序2、建树3、求树的前缀和
1、我们知道，一个生物死亡的条件是他的所有食物全部死亡
   而且既然这个题说了没有环，那么就可以保证食物链等级鲜明
   那么求这种图，我们很容易就可以想到拓扑排序了
2、我们建一棵树，让father[x]为x的父亲，意味着若father[x]死了，那么x则灭绝
   问题来了，x应该挂在哪个点上？
   当然是他所有食物的LCA上啊！
   若LCA死了，x的食物也会都死亡，那么x也必然死亡
     建树这里可以将出度为0的点连在一个虚拟点n+1上方便处理
3、最后DFS求一下树的前缀和
     因为若x死了，那么他的子树会全部死亡，那么他的重要度就是子树大小-1（去除本身）
最后附样例转树的图（学长给我画的）
5 →2 →1
    ↗  ↗
4 →3

6
         ↓
        1
      ↙↓↘
     2  3  4
 ↙
5

Code

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<queue>
 #define MAXN (65534+5)
 using namespace std;
 int head1[MAXN],head[MAXN],num1,num2;
 int n,ind[MAXN],sum,topo[MAXN];
 int father[MAXN],f[MAXN][],depth[MAXN];
 int SUM[MAXN];

 //1为拓扑序所用邻接表
 //2为树所用邻接表
 struct node1
 {
     int to,next;
 }edge1[MAXN*];//这里不是很懂为什么要开MAXN*4……？
 void add1(int u,int v)
 {
     edge1[++num1].to=v;
     edge1[num1].next=head1[u];
     head1[u]=num1;
 }
 struct node
 {
     int to,next;
 }edge[MAXN*+];
 void add(int u,int v)
 {
     edge[++num2].to=v;
     edge[num2].next=head[u];
     head[u]=num2;
 }

 //toposort拓扑排序
 //RMQ倍增做LCA的预处理
 //LCA找两个点的最近公共祖先
 //build将拓扑排序转换为一颗有根树
 //DPtree求树上前缀和
 void toposort()
 {
     queue<int>q;
     for (int i=;i<=n;++i)
         if(ind[i]==)
             q.push(i);

     while (!q.empty())
     {
         int x=q.front();
         q.pop();
         topo[++sum]=x;
         for (int i=head1[x];i!=;i=edge1[i].next)
         {
             ind[edge1[i].to]--;
             if(!ind[edge1[i].to])
                 q.push(edge1[i].to);
         }
     }
 }
 void RMQ(int x)
 {
     f[x][]=father[x];
     for (int i=;i<=;++i)
         f[x][i]=f[f[x][i-]][i-];
 }
 int LCA(int x,int y)//x is under y
 {
     if (depth[x]<depth[y])    swap(x,y);
     for (int i=;i>=;--i)
         if (f[x][i]!=&&depth[f[x][i]]>=depth[y])
             x=f[x][i];
     if (x==y)    return y;
     for (int i=;i>=;--i)
         if (f[x][i]!=&&f[y][i]!=&&f[x][i]!=f[y][i])
         {
             x=f[x][i];
             y=f[y][i];
         }
     return father[x];
 }
 void build()
 {
     depth[n+]=;
     father[n+]=n+;
     for (int i=n;i>=;--i)
     {
         int x=topo[i];
         if (head1[x]==)
         {
             father[x]=n+;
             add(n+,x);
             f[x][]=n+;
             depth[x]=;
             continue;
         }
         int lca=edge1[head1[x]].to;
         for (int i=edge1[head1[x]].next;i!=;i=edge1[i].next)
         {
             lca=LCA(lca,edge1[i].to);
         }
         father[x]=lca;
         add(father[x],x);
         depth[x]=depth[father[x]]+;
         RMQ(x);
     }
 }
 void DPtree(int x)
 {
     SUM[x]=;
     for (int i=head[x];i!=;i=edge[i].next)
     {
         DPtree(edge[i].to);
         SUM[x]+=SUM[edge[i].to];
     }
 }

 //main函数
 int main()
 {
     int x;
     scanf("%d",&n);
     for (int i=;i<=n;++i)
     {
         scanf("%d",&x);
         while (x!=)
         {
             add1(i,x);
             ++ind[x];//食物入度+1
             scanf("%d",&x);
         }
     }
     toposort();//拓扑排序
     build();//建树
     DPtree(n+);
     for (int i=;i<=n;++i)
         printf("%d\n",SUM[i]-);
 }