bzoj 1076: [SCOI2008]奖励关

Description

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Solution

期望DP，注意到\(n\)很小，可以状压

设 \(dp[i][j]\) 为走到 \(i\) 这个节点当前的状态为 \(j\) 的最大期望分值

\(dp[i][S]+=max(dp[i+1][S],1.0*(a[j]+dp[i+1][S|(1<<(j-1))]))/n\)，该状态包含该宝物的前提.

\(dp[i][S]+=dp[i+1][S]/n\)，该宝物的前提没有被包含

注意期望DP倒推.

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
#define iter iterator
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105;
double dp[N][1<<15];int a[N],c[N];
void work()
{
    int K,n,x;
    scanf("%d%d",&K,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        scanf("%d",&x);
        while(x)c[i]|=(1<<(x-1)),scanf("%d",&x);
    }
    int lim=1<<n;
    for(int i=K;i>=1;i--){
        for(int S=0;S<lim;S++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                int T=c[j];
                if((S&T)==T)
                    dp[i][S]+=
              max(dp[i+1][S],1.0*(a[j]+dp[i+1][S|(1<<(j-1))]))/n;
                else dp[i][S]+=dp[i+1][S]/n;
            }
        }
    }
    printf("%.6lf\n",dp[1][0]);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}