[BZOJ1977]严格次小生成树

【问题描述】

　　小C最近学了很多最小生成树的算法，Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。

　　正当小C洋洋得意之时，小P又来泼小C冷水了。小P说，让小C求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是EM，严格次小生成树选择的边集是ES，那么需要满足：(value(e)表示边e的权值) 
　　  
　　　　　　　　　 
　　这下小C蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

【输入格式】

　　第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点x和点y之间有一条边，边的权值为z。

【输出格式】

　　包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

【输入样例】

5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6

【输出样例】

11

【数据范围】

数据中无向图无自环； 
50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 
80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 
100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

题解：

要求求严格次小生成树，首先kruskal就无法使用，prim复杂度太高

于是我们用LCA

构造出最小生成树，可知次小生成树肯定是加入某边再删去一边

假设加入(i,j)则有删去生成树上i~j路径最大的边，用倍增维护

但是严格次小没有解决

可以在用倍增维护最大值时，再维护次小值，那么当最大值等于加入边权值时则删去次大边

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 typedef long long lol;
 struct Messi
 {
     lol u,v;
     lol dis;
 }edge1[];
 struct Node
 {
     lol next,to;
     lol dis;
 }edge[];
 lol num,head[],set[],depth[],Max[][],Max2[][],fa[][],n,m,ans1,ans=2e9;
 bool vis[],b[];
 bool cmp(Messi a,Messi b)
 {
     return a.dis<b.dis;
 }
 void add(lol u,lol v,lol dis)
 {
     num++;
     edge[num].next=head[u];
     head[u]=num;
     edge[num].to=v;
     edge[num].dis=dis;
 }
 lol find(lol x)
 {
     if (set[x]!=x) set[x]=find(set[x]);
     return set[x];
 }
 void dfs(lol x,lol dep)
 {int i;
     vis[x]=;
     depth[x]=dep;
     for (i=;i<=;i++)
     if (dep>(<<i))
     {
         Max[x][i]=max(Max[x][i-],Max[fa[x][i-]][i-]);
         if (Max[x][i-]!=Max[fa[x][i-]][i-]) Max2[x][i]=Max[x][i-]+Max[fa[x][i-]][i-]-Max[x][i];
         Max2[x][i]=max(Max2[x][i],max(Max2[x][i-],Max2[fa[x][i-]][i-]));
         fa[x][i]=fa[fa[x][i-]][i-];
     }
     for (i=head[x];i;i=edge[i].next)
     {
         int v=edge[i].to;
         if (vis[v]==)
         {
             fa[v][]=x;
             Max[v][]=edge[i].dis;
             dfs(v,dep+);
         }
     }
 }
 lol ask(lol x,lol y,lol d)
 {int i;
     lol s1=,s2=;
     if (depth[x]<depth[y]) swap(x,y);
     for (i=;i>=;i--)
      if ((<<i)<=depth[x]-depth[y])
       {
           if (s1!=Max[x][i]) s2=max(s2,min(s1,Max[x][i]));
           s2=max(s2,Max2[x][i]);
           s1=max(s1,Max[x][i]);
        x=fa[x][i];
       }
     if (x==y)
     {
         if (s1==d&&s2) return d-s2;
         else if (s2==) return 2e9;
         else if (s1!=d)return d-s1;
     }
     for (i=;i>=;i--)
     {
       if ((<<i)<depth[x]&&fa[x][i]!=fa[y][i])
         {
         if (s1!=Max[x][i]) s2=max(s2,min(s1,Max[x][i]));
           s2=max(s2,Max2[x][i]);
           s1=max(s1,Max[x][i]);
         if (s1!=Max[y][i]) s2=max(s2,min(s1,Max[y][i]));
           s2=max(s2,Max2[y][i]);
           s1=max(s1,Max[y][i]);
             x=fa[x][i];y=fa[y][i];
         }
     }
     if (s1!=Max[x][]) s2=max(s2,min(s1,Max[x][]));
           s2=max(s2,Max2[x][]);
           s1=max(s1,Max[x][]);
         if (s1!=Max[y][]) s2=max(s2,min(s1,Max[y][]));
           s2=max(s2,Max2[y][]);
           s1=max(s1,Max[y][]);
     x=fa[x][];y=fa[y][];
     if (s1==d&&s2) return d-s2;
         else if (s2==) return 2e9;
         else if (s1!=d)return d-s1;
 }
 int main()
 {int i,j,q,opt,x,y;
 //freopen("scrip.in","r",stdin);
 //freopen("scrip.out","w",stdout);
     cin>>n>>m;
     for (i=;i<=m;i++)
     {
         scanf("%d%d%d",&edge1[i].u,&edge1[i].v,&edge1[i].dis);
     }
     sort(edge1+,edge1+m+,cmp);
     for (i=;i<=n;i++)
     set[i]=i;
     i=;j=;
      while (i<=n-&&j<=m)
      {
          int p=find(edge1[j].u),q=find(edge1[j].v);
              if (p!=q)
              {
               set[p]=q;
               i++;
               b[j]=;
               ans1+=edge1[j].dis;
               add(edge1[j].u,edge1[j].v,edge1[j].dis);
               add(edge1[j].v,edge1[j].u,edge1[j].dis);
             }
             j++;
      }
      if (i<=n-)
      {
          cout<<"No MST!";
          return ;
      }
      dfs(,);
      for (j=;j<=m;j++)
      {
           if (b[j]==)
           {
                ans=min(ans,ask(edge1[j].u,edge1[j].v,edge1[j].dis));
           }
      }
     if (ans==2e9)
     {
         cout<<"No SST!";
         return ;
     }
 cout<<ans+ans1;
 }