概述「DAG加边至强连通」模型&&luoguP2746校园网Network of Schools

模型概述

有一DAG，问最少加多少条边能够使图强连通。

题目描述

一些学校连入一个电脑网络。那些学校已订立了协议：每个学校都会给其它的一些学校分发软件（称作“接受学校”）。注意即使 B 在 A 学校的分发列表中， A 也不一定在 B 学校的列表中。

你要写一个程序计算，根据协议，为了让网络中所有的学校都用上新软件，必须接受新软件副本的最少学校数目（子任务 A）。更进一步，我们想要确定通过给任意一个学校发送新软件，这个软件就会分发到网络中的所有学校。为了完成这个任务，我们可能必须扩展接收学校列表，使其加入新成员。计算最少需要增加几个扩展，使得不论我们给哪个学校发送新软件，它都会到达其余所有的学校（子任务 B）。一个扩展就是在一个学校的接收学校列表中引入一个新成员。

输入输出格式

输入格式：

输入文件的第一行包括一个整数 N：网络中的学校数目（2 <= N <= 100）。学校用前 N 个正整数标识。

接下来 N 行中每行都表示一个接收学校列表（分发列表）。第 i+1 行包括学校 i 的接收学校的标识符。每个列表用 0 结束。空列表只用一个 0 表示。

输出格式：

你的程序应该在输出文件中输出两行。

第一行应该包括一个正整数：子任务 A 的解。

第二行应该包括子任务 B 的解。

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题目分析

第一问非常简单，就是缩点之后求入度为零的点个数。

至于第二问……一开始我想了很久，后来发现好像想复杂去了。

先加边再删边

我一开始想到的是类似于floyd的想法，来试图删去“多余的边”。

这里对于多余的边的定义是：删去这些边后不会改变图中两两点对的连通性。

那么对于点$x$，将它与所有不能到达的点$y$连边，最后再考虑哪些边是可删去的多余边。

但是这样很冗余，同时计算出的答案是会偏大的……而且我后来发现好像floyd做不到这个操作？

从图的性质考虑

先不来考虑森林（其实森林的情况也一样）比如说这样一张图：

标红的是入度为零的点；标蓝的是出度为零的点。

按照之前的想法，那就是把点1,2,3,4与其他所有它们不能到达的点相连。

但是可以发现对于点5,6来说，是能够到达所有点的；对于点2来说，它只能够到达自身；并且，所有点都能够到达点2。

那么只需要给点2向点5,6连边，就能够使图成为强连通。

更为普遍的情况则是，红点有$x$个；蓝点有$y$个，则最少加边数为$max\{x,y\}$。

 #include<bits/stdc++.h>
 const int maxn = ;
 const int maxm = ;

 int tim,dfn[maxn],low[maxn],degOut[maxn],degInn[maxn];
 int stk[maxn],cnt;
 int col[maxn],cols;
 int edgeTot,edges[maxm],nxt[maxm],head[maxn];
 int n,ans;

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = ;
     bool fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
         if (ch=='-') fl = ;
     for (; isdigit(ch); ch = getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     if (fl) num = -num;
     return num;
 }
 void addedge(int u, int v)
 {
     edges[++edgeTot] = v, nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot;
 }
 void tarjan(int x)
 {
     dfn[x] = low[x] = ++tim;
     stk[++cnt] = x;
     for (int i=head[x]; i!=-; i=nxt[i])
     {
         int v = edges[i];
         if (!dfn[v])
             tarjan(v),
             low[x] = std::min(low[x], low[v]);
         else if (!col[v])
             low[x] = std::min(low[x], dfn[v]);
     }
     if (low[x]==dfn[x]){
         col[x] = ++cols;
         for (; stk[cnt]!=x; cnt--)
             col[stk[cnt]] = cols;
         cnt--;
     }
 }
 int main()
 {
     memset(head, -, sizeof head);
     n = read();
     for (int i=; i<=n; i++)
     {
         int x;
         while (x = read())
             addedge(i, x);
     }
     for (int i=; i<=n; i++)
         if (!dfn[i]) tarjan(i);
     for (int i=; i<=n; i++)
         for (int j=head[i]; j!=-; j=nxt[j])
             if (col[i]!=col[edges[j]])
                 degInn[col[i]]++, degOut[col[edges[j]]]++;
     for (int i=; i<=cols; i++)
         if (!degOut[i]) ans++;
     printf("%d\n",ans);
     if (cols==) printf("0\n");
     else{
         int cnta = , cntb = ;
         for (int i=; i<=cols; i++)
         {
             if (degInn[i]==) cnta++;
             if (degOut[i]==) cntb++;
         }
         printf("%d\n",std::max(cnta, cntb));
     }
     return ;
 }

END