[国家集训队]礼物

题目背景

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小 E 都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小 E 心目中的重要性不同,在小 E 心中分量越重的人,收到的礼物会越多。

题目描述

小 E 从商店中购买了

n

n

n 件礼物,打算送给

m

m

m 个人,其中送给第

i

i

i 个人礼物数量为

w

i

w_i

wi​。请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方案被认为是不同的,当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同)。由于方案数可能会很大,你只需要输出模

P

P

P 后的结果。

输入格式

输入的第一行包含一个整数

P

P

P,表示模数。
第二行包含两个整数

n

n

n 和

m

m

m,分别表示小 E 从商店购买的礼物数和接受礼物的人数。

3

3

3 到第

(

m

+

2

)

(m + 2)

(m+2) 行,每行一个整数,第

(

i

+

2

)

(i + 2)

(i+2) 行的整数

w

i

w_i

wi​ 表示送给第

i

i

i 个人的礼物数量。

输出格式

若不存在可行方案,则输出 Impossible,否则输出一个整数,表示模

P

P

P 后的方案数。

输入输出样例

样例输入1

  1. 100
  2. 4 2
  3. 1
  4. 2

样例输出1

  1. 12

样例输入2

  1. 100
  2. 2 2
  3. 1
  4. 2

样例输出2

  1. Impossible

说明/提示

样例 1 解释

/ 分割,/ 前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。

12

12

12 种方案详情如下:

  1. 1/2 3 1/2 4 1/3 4
  2. 2/1 3 2/1 4 2/3 4
  3. 3/1 2 3/1 4 3/2 4
  4. 4/1 2 4/1 3 4/2 3

数据规模与约定

P

=

i

=

1

t

p

i

c

i

P= \prod_{i=1}^t p_i^{c_i}

P=∏i=1t​pici​​,

p

i

p_i

pi​ 为质数。

对于

15

%

15\%

15% 的数据,

n

15

n\leq 15

n≤15,

m

5

m\leq 5

m≤5,

p

i

c

i

1

0

5

p_i^{c_i}\leq 10^5

pici​​≤105。

在剩下的

85

%

85\%

85% 数据中,约有

60

%

60\%

60% 的数据满足

t

2

t\leq 2

t≤2,

c

i

=

1

c_i=1

ci​=1,

p

i

1

0

5

p_i\leq 10^5

pi​≤105,约有

30

%

30\%

30% 的数据满足

p

i

200

p_i\leq 200

pi​≤200。

对于

100

%

100\%

100% 的数据,

1

n

1

0

9

1\leq n\leq 10^9

1≤n≤109,

1

m

5

1\leq m\leq 5

1≤m≤5,

1

p

i

c

i

1

0

5

1\leq p_i^{c_i}\leq 10^5

1≤pici​​≤105,

1

w

i

P

1

0

9

1\leq w_i \leq P\leq 10^9

1≤wi​≤P≤109。

Code

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. #define int long long
  3. using namespace std;
  4. int w[10005];
  5. int p, n, m, s, k = 1;
  6. void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
  7. {
  8. if (b)
  9. {
  10. exgcd(b, a % b, y, x);
  11. y -= a / b * x;
  12. }
  13. else
  14. x = 1, y = 0;
  15. }
  16. int inv(int a, int p)
  17. {
  18. int x, y;
  19. exgcd(a, p, x, y);
  20. return (x + p) % p;
  21. }
  22. int qmi(int a, int b, int p)
  23. {
  24. int res = 1;
  25. while (b)
  26. {
  27. if (b & 1)
  28. res = res * a % p;
  29. a = a * a % p;
  30. b >>= 1;
  31. }
  32. return res;
  33. }
  34. int f(int a, int p, int k)
  35. {
  36. if (!a)
  37. return 1;
  38. int i, u = 1, v = 1;
  39. for (i = 1; i < k; ++i)
  40. if (i % p)
  41. u = i * u % k;
  42. for (i = a / k * k; i <= a; ++i)
  43. if (i % p)
  44. v = i % k * v % k;
  45. return f(a / p, p, k) * qmi(u, a / k, k) % k * v % k;
  46. }
  47. int g(int a, int p)
  48. {
  49. if (a < p)
  50. return 0;
  51. return g(a / p, p) + a / p;
  52. }
  53. int h(int a, int b, int p, int k)
  54. {
  55. return f(a, p, k) * inv(f(b, p, k), k) % k * inv(f(a - b, p, k), k) % k * qmi(p, g(a, p) - g(b, p) - g(a - b, p), k) % k;
  56. }
  57. int exlucas(int a, int b, int p)
  58. {
  59. int i, j, k, l, s = 0;
  60. for (i = 2, j = p; i * i <= j; ++i)
  61. {
  62. if (j % i)
  63. continue;
  64. for (k = i, j /= i; !(j % i); k *= i)
  65. j /= i;
  66. l = p / k;
  67. s = (s + l * h(a, b, i, k) % p * inv(l, k)) % p;
  68. }
  69. if (j > 1)
  70. {
  71. l = p / j;
  72. s = (s + l * h(a, b, j, j) % p * inv(l, j)) % p;
  73. }
  74. return s;
  75. }
  76. signed main()
  77. {
  78. cin >> p >> n >> m;
  79. for (int i = 0; i < m; ++i)
  80. {
  81. cin >> w[i];
  82. s += w[i];
  83. }
  84. if (s > n)
  85. {
  86. puts("Impossible");
  87. return 0;
  88. }
  89. for (int i = 0; i < m; ++i)
  90. {
  91. k = k * exlucas(n, w[i], p) % p;
  92. n -= w[i];
  93. }
  94. cout << k;
  95. return 0;
  96. }

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