P2183 [国家集训队]【一本通提高组合数学】礼物
[国家集训队]礼物
题目背景
一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小 E 都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小 E 心目中的重要性不同,在小 E 心中分量越重的人,收到的礼物会越多。
题目描述
小 E 从商店中购买了
n
n
n 件礼物,打算送给
m
m
m 个人,其中送给第
i
i
i 个人礼物数量为
w
i
w_i
wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方案被认为是不同的,当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同)。由于方案数可能会很大,你只需要输出模
P
P
P 后的结果。
输入格式
输入的第一行包含一个整数
P
P
P,表示模数。
第二行包含两个整数
n
n
n 和
m
m
m,分别表示小 E 从商店购买的礼物数和接受礼物的人数。
第
3
3
3 到第
(
m
+
2
)
(m + 2)
(m+2) 行,每行一个整数,第
(
i
+
2
)
(i + 2)
(i+2) 行的整数
w
i
w_i
wi 表示送给第
i
i
i 个人的礼物数量。
输出格式
若不存在可行方案,则输出 Impossible
,否则输出一个整数,表示模
P
P
P 后的方案数。
输入输出样例
样例输入1
100
4 2
1
2
样例输出1
12
样例输入2
100
2 2
1
2
样例输出2
Impossible
说明/提示
样例 1 解释
以 /
分割,/
前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。
12
12
12 种方案详情如下:
1/2 3 1/2 4 1/3 4
2/1 3 2/1 4 2/3 4
3/1 2 3/1 4 3/2 4
4/1 2 4/1 3 4/2 3
数据规模与约定
设
P
=
∏
i
=
1
t
p
i
c
i
P= \prod_{i=1}^t p_i^{c_i}
P=∏i=1tpici,
p
i
p_i
pi 为质数。
对于
15
%
15\%
15% 的数据,
n
≤
15
n\leq 15
n≤15,
m
≤
5
m\leq 5
m≤5,
p
i
c
i
≤
1
0
5
p_i^{c_i}\leq 10^5
pici≤105。
在剩下的
85
%
85\%
85% 数据中,约有
60
%
60\%
60% 的数据满足
t
≤
2
t\leq 2
t≤2,
c
i
=
1
c_i=1
ci=1,
p
i
≤
1
0
5
p_i\leq 10^5
pi≤105,约有
30
%
30\%
30% 的数据满足
p
i
≤
200
p_i\leq 200
pi≤200。
对于
100
%
100\%
100% 的数据,
1
≤
n
≤
1
0
9
1\leq n\leq 10^9
1≤n≤109,
1
≤
m
≤
5
1\leq m\leq 5
1≤m≤5,
1
≤
p
i
c
i
≤
1
0
5
1\leq p_i^{c_i}\leq 10^5
1≤pici≤105,
1
≤
w
i
≤
P
≤
1
0
9
1\leq w_i \leq P\leq 10^9
1≤wi≤P≤109。
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int w[10005];
int p, n, m, s, k = 1;
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (b)
{
exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
}
else
x = 1, y = 0;
}
int inv(int a, int p)
{
int x, y;
exgcd(a, p, x, y);
return (x + p) % p;
}
int qmi(int a, int b, int p)
{
int res = 1;
while (b)
{
if (b & 1)
res = res * a % p;
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return res;
}
int f(int a, int p, int k)
{
if (!a)
return 1;
int i, u = 1, v = 1;
for (i = 1; i < k; ++i)
if (i % p)
u = i * u % k;
for (i = a / k * k; i <= a; ++i)
if (i % p)
v = i % k * v % k;
return f(a / p, p, k) * qmi(u, a / k, k) % k * v % k;
}
int g(int a, int p)
{
if (a < p)
return 0;
return g(a / p, p) + a / p;
}
int h(int a, int b, int p, int k)
{
return f(a, p, k) * inv(f(b, p, k), k) % k * inv(f(a - b, p, k), k) % k * qmi(p, g(a, p) - g(b, p) - g(a - b, p), k) % k;
}
int exlucas(int a, int b, int p)
{
int i, j, k, l, s = 0;
for (i = 2, j = p; i * i <= j; ++i)
{
if (j % i)
continue;
for (k = i, j /= i; !(j % i); k *= i)
j /= i;
l = p / k;
s = (s + l * h(a, b, i, k) % p * inv(l, k)) % p;
}
if (j > 1)
{
l = p / j;
s = (s + l * h(a, b, j, j) % p * inv(l, j)) % p;
}
return s;
}
signed main()
{
cin >> p >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
cin >> w[i];
s += w[i];
}
if (s > n)
{
puts("Impossible");
return 0;
}
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
k = k * exlucas(n, w[i], p) % p;
n -= w[i];
}
cout << k;
return 0;
}
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