GCD + 位运算

[Problem - 1665D - Codeforces](https://codeforces.com/problemset/problem/1627/D)

题意

交互题,有一个未知数 \(x\;(1<=x<=10^9)\), 最多有 30 次询问,每次询问给出 \(1<=a,b<=10^9\), 返回 \(gcd(a+x,b+x)\), 求出 x

思路

  1. 30 次询问,一开始想二分,但没找到单调性;
  2. 按位来判断,如果每次能判断 1 位也正好满足条件
  3. 如果已经求出了 x 的前 i - 1位,记为 r;对于第 i 位,\(\gcd(x-r,2^i)\) == \(2^i\) 则 x 的第 \(i\) 位是 0
  4. 但询问是 x 加一个数,不能询问 \(x-r\);所以可以询问 \(\gcd(x-r+2^i,2^{i+1})==2^{i+1}\), 则 x 的第 i 位是 1
  5. 令 \(a=2^i-r,\;b=-r+2^i+2^{i+1}\) 即可
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath> using namespace std;
#define endl "\n" typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
int y; void query(int a, int b)
{
cout << "? " << a << " " << b << endl;
cout.flush();
cin >> y;
} int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int T;
cin >> T;
while(T--)
{
int r = 0;
for (int i = 0; i < 30; i++)
{
int a = (1 << i) - r;
int b = a + (1 << i + 1);
query(a, b);
if (y == (1 << i + 1))
r |= (1 << i);
}
cout << "! " << r << endl;
cout.flush();
}
return 0;
}

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