Miller Rabbin 算法—费马定理+二次探测+随机数 （讲解+例题:FZU1649 Prime number or not）

0.引入

那年，机房里来了个新教练， 口胡鼻祖lhy

第一节课，带我们体验了暴力的神奇，

第二节课，带我们体验了随机数的玄妙，

……

那节课，便是我第一次接触到Miller Rabbin算法，

直到现在，终于搞懂了一些。

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该算法（名字过长，不想打了）主要是解决快速判断一个极大的数是否是质数的问题。

我们知道，能保证正确的最快的算法，就是的复杂度，不能再小了，对于一个很大的long long，复杂度达到O(1e9)

但是该算法却能在的时间复杂度内判断，（如果用了光速乘，还可以变为）

那究竟是为什么呢？

我们先特判了小质数后，再进入下面的算法

1.费马定理

我们知道，对于一个质数p，和比它小的数a，有

所以我们可以先判断 p 是否符合费马定理，不符合就肯定不是质数。

但是符合也不一定是质数，先不说随便在小于一个合数 p 的数中选一些数可能恰好都符合费马定理，就算把1~p-1都穷举完了，也有合数是可以满足上面的式子的，那就是卡迈克尔数。

但是这一步判断至少确定了枚举到的 a 是有逆元的吧……

2.二次探测

若有

其中 p 是质数，y < p，则

 

这就是二次探测的原理

然后大家知道，这篇文章不是在证定理，而是在讲算法，所以注重算法过程而不是算法推导，所以笔者就直接讲过程了！

由于上面费马定理已经判断了

而若p是质数，p-1就一定是偶数了（2已经特判掉了）可以分解出很多2出来，

设

那么先算出 ，然后每次  把它平方，只要第一次碰到 a==1 的情况，就看前一次的 a 是多少，如果不是p-1那么该数就是合数，否则就继续算法过程，总会碰到 a==1 的情况，因为最后会乘到 。

3.随机数

随便选一个数 a 来做二次探测，让合数躲过的几率只有10%左右，

那么随机选10个、20个、30个数做二次探测，让合数躲过的几率就小得多了，可以小到同出现相同指纹的概率这么小，（但前提是足够随机）

所以我们就放心做十次二次探测，每次选一个1~p-1中的随机 a 跑上面的过程，把这个10算作一个log的话，复杂度也只有了。

4.例题

FZU1649 质数还是合数

一道该算法的板题

CODE

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define MAXN 65545
#define MAXM 35
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x)&(x))
//#define int LL
using namespace std;
inline LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-')f = -1;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x = x * 10 + (s - '0');s = getchar();}
	return x * f;
}
const LL jzm = 1000000007;
int n,m,i,j,s,o,k;
LL safemul(LL a,LL b,LL zxy) {
	LL res = 0;if(a < b) swap(a,b);
	while(b>0) {
		if(b & 1ll) (res += a) %= zxy;
		(a <<= 1ll) %= zxy;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
LL qkpow(LL a,LL b,LL zxy) {
	LL res = 1;
	while(b>0) {
		if(b & 1ll) res = safemul(res,a,zxy);
		a = safemul(a,a,zxy);
		b >>= 1;
	}
	return res % zxy;
}
LL Rand() {return rand()*rand()+rand();}
bool Miller_rabbin(LL p) {
	if(p == 2 || p == 3 || p == 5) return 1;
	if(p <= 1) return 0;
	LL nm = p-1;
	nm /= lowbit(nm);
	for(int id = 1;id <= 10;id ++) {
		LL a = Rand() % p;
		if(qkpow(a,p-1,p) != 1ll) return 0;
		a = qkpow(a,nm,p);
		LL pre = p-1;
		while(a != 1) {
			pre = a;
			a = safemul(a,a,p);
		}
		if(pre != p-1) return 0;
	}
	return 1;
}
int main() {
	srand(time(0));
	LL N;
	while(scanf("%lld",&N) == 1) {
		printf(Miller_rabbin(N) ? "It is a prime number.\n":"It is not a prime number.\n");
	}
	return 0;
}