[洛谷 P1377] TJOI2011 树的序

问题描述

众所周知，二叉查找树的形态和键值的插入顺序密切相关。准确的讲：1、空树中加入一个键值k，则变为只有一个结点的二叉查找树，此结点的键值即为k；2、在非空树中插入一个键值k，若k小于其根的键值，则在其左子树中插入k，否则在其右子树中插入k。

我们将一棵二叉查找树的键值插入序列称为树的生成序列，现给出一个生成序列，求与其生成同样二叉查找树的所有生成序列中字典序最小的那个，其中，字典序关系是指对两个长度同为n的生成序列，先比较第一个插入键值，再比较第二个，依此类推。

输入格式

第一行，一个整数，n，表示二叉查找树的结点个数。第二行，有n个正整数，k1到kn，表示生成序列，简单起见，k1~kn为一个1到n的排列。

输出格式

一行，n个正整数，为能够生成同样二叉查找数的所有生成序列中最小的。

样例输入

4

1 3 4 2

样例输出

1 3 2 4

解析

根据题目要求，我们可以这么想：字典序最小的构法肯定是从小到大插入，但最后构出来的树会是一条链。我们可以设一个节点有两个关键值：一是本身的值，二是第几个插入。我们需要这棵树越往上第二关键字越小，即每个节点的第二关键字小于自己的两个儿子(不然不满足原树的顺序)，整棵树的第一关键字又要满足二叉搜索树，这就是一棵笛卡尔树。

笛卡尔树的构造方法是：首先把所有节点按照第一关键字排序，这样构造出来的树就是一条在最右边的链。用一个栈保存最右边链的节点。对于每一个插入的节点i，都在栈中找到第一个第二关键字比自己小的点，并将i作为这个点的右儿子，而原来接的右链接到i的左儿子处，并从栈中弹出。最后中序遍历整棵树的序列即为答案。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100002
using namespace std;
struct node{
	int dat,key;
}a[N];
int n,i,fa[N],dat[N],key[N],son[N][2],s[N],top;
int my_comp(const node &x,const node &y)
{
	return x.dat<y.dat;
}
void insert(int x,int f,int p)
{
	fa[x]=f;
	son[f][p]=x;
}
void dfs(int x)
{
	if(!x) return;
	cout<<dat[x]<<' ';
	dfs(son[x][0]);
	dfs(son[x][1]);
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].dat;
		a[i].key=i;
	}
	sort(a+1,a+n+1,my_comp);
	for(i=1;i<=n;i++){
		int last=0;
		while(top>0&&key[s[top]]>a[i].key) last=top,top--;
		dat[i]=a[i].dat;
		key[i]=a[i].key;
		insert(i,s[top],1);
		insert(s[last],i,0);
		s[++top]=i;
	}
	dfs(son[0][1]);
	cout<<endl;
	return 0;
}