相关概念：

1.x向量和y向量

  1. import numpy as np
  2. import matplotlib.pyplot as plt
  3. x = np.array([[0,1,2,3],
  4.               [0,0,0,0],
  5.               [0,0,0,0],
  6.               [0,0,0,0]])
  7. y = np.array([[0,0,0,0],
  8.               [1,0,0,0],
  9.               [2,0,0,0],
  10.               [3,0,0,0]])
  11. plt.plot(x,y,
  12.          color = 'red',  ##全部点设置红色
  13.          marker='o',     ##形状：实心圆圈
  14.          linestyle = '') ##线性：空  点与点间不连线
  15. plt.grid(True)           ##显示网格
  16. plt.show()

x向量和y向量

x向量：[0, 1, 2, 3]
y向量：[0, 1, 2, 3]

2.xv和yv矩阵

  1. import numpy as np
  2. import matplotlib.pyplot as plt
  3. x = [0,1,2,3]
  4. y = [0,1,2,3]
  5. print(x)
  6. print(y)
  7. x,y = np.meshgrid(x,y)
  8. print(x)
  9. print(y)
  10. plt.plot(x,y,
  11.          color = 'red',  ##全部点设置红色
  12.          marker='o',     ##形状：实心圆圈
  13.          linestyle = '') ##线性：空  点与点间不连线
  14. plt.grid(True)           ##显示网格
  15. plt.show()

xv和yv坐标矩阵

xv坐标矩阵：

[[0 1 2 3]
 [0 1 2 3]
 [0 1 2 3]
 [0 1 2 3]]

yv坐标矩阵：

[[0 0 0 0]
 [1 1 1 1]
 [2 2 2 2]
 [3 3 3 3]]

z：网格平面坐标

图片来源：https://www.cnblogs.com/lantingg/p/9082333.html

  1. import numpy as np
  2. import matplotlib.pyplot as plt
  3. #调用meshgrid实现以上功能
  4. x = np.linspace(0,100,11)
  5. y = np.linspace(0,50,11)
  6. print(x)
  7. print(y)
  8. x,y = np.meshgrid(x,y)
  9. print('x--meshgrid后的数据',x)
  10. print('y--meshgrid后的数据',y)
  11. plt.plot(x,y,
  12.          color = 'red',  ##全部点设置红色
  13.          marker='o',     ##形状：实心圆圈
  14.          linestyle = '') ##线性：空  点与点间不连线
  15. plt.grid(True)           ##显示网格
  16. plt.show()
  17. '''
  18. x = [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  19. y = [ 0.  5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. 45. 50.]
  20. x--meshgrid后的数据 [将x一维数组，重复11次]
  21. [[  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  22.  [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  23.  [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  24.  [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  25.  [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  26.  [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  27.  [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  28.  [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  29.  [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  30.  [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]
  31.  [  0.  10.  20.  30.  40.  50.  60.  70.  80.  90. 100.]]
  32. y--meshgrid后的数据 [将y一位数组转置成列，再重复11次]
  33. [[ 0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.]
  34.  [ 5.  5.  5.  5.  5.  5.  5.  5.  5.  5.  5.]
  35.  [10. 10. 10. 10. 10. 10. 10. 10. 10. 10. 10.]
  36.  [15. 15. 15. 15. 15. 15. 15. 15. 15. 15. 15.]
  37.  [20. 20. 20. 20. 20. 20. 20. 20. 20. 20. 20.]
  38.  [25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25.]
  39.  [30. 30. 30. 30. 30. 30. 30. 30. 30. 30. 30.]
  40.  [35. 35. 35. 35. 35. 35. 35. 35. 35. 35. 35.]
  41.  [40. 40. 40. 40. 40. 40. 40. 40. 40. 40. 40.]
  42.  [45. 45. 45. 45. 45. 45. 45. 45. 45. 45. 45.]
  43.  [50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50.]]
  44. '''

实例

  1. import numpy as np
  2. from matplotlib import pyplot as plt
  3. from mpl_toolkits.mplot3d import  Axes3D
  4. def plot_3d():
  5.     fig = plt.figure(figsize=(12,8))
  6.     ax = Axes3D(fig)
  7.     x = np.arange(-2,2,0.05)
  8.     y = np.arange(-2,2,0.05)
  9.     ##对x,y数据执行网格化
  10.     x,y = np.meshgrid(x,y)
  11.     z1 = np.exp(-x**2-y**2)
  12.     z2 = np.exp(-(x-1)**2-(y-1)**2)
  13.     z = -(z1-z2)*2
  14.     ax.plot_surface(x,y,z,    ##x,y,z二维矩阵（坐标矩阵xv，yv,zv）
  15.                     rstride=1,##retride(row)指定行的跨度
  16.                     cstride=1,##retride(column)指定列的跨度
  17.                     cmap='rainbow')  ##设置颜色映射
  18.     ##设置z轴范围
  19.     ax.set_zlim(-2,2)
  20.     ##设置标题
  21.     plt.title('优化设计之梯度下降--目标函数',fontproperties = 'SimHei',fontsize = 20)
  22.     plt.show()
  23.     ax.plot_surface()
  24. plot_3d()

axes3d.plot_surface

 

  1. def plot_axes3d_wireframe():
  2.     fig = plt.figure(figsize=(12,8))
  3.     ax = Axes3D(fig)
  4.     x = np.arange(-2,2,0.05)
  5.     y = np.arange(-2,2,0.05)
  6.     ##对x,y数据执行网格化
  7.     x,y = np.meshgrid(x,y)
  8.     z1 = np.exp(-x**2-y**2)
  9.     z2 = np.exp(-(x-1)**2-(y-1)**2)
  10.     z = -(z1-z2)*2
  11.     ax.plot_wireframe(x,y,z,    ##x,y,z二维矩阵（坐标矩阵xv，yv,zv）
  12.                     rstride=1,##retride(row)指定行的跨度
  13.                     cstride=1,##retride(column)指定列的跨度
  14.                     cmap='rainbow')  ##设置颜色映射
  15.     ##设置z轴范围
  16.     ax.set_zlim(-2,2)
  17.     ##设置标题
  18.     plt.title('优化设计之梯度下降--目标函数',fontproperties = 'SimHei',fontsize = 20)
  19.     plt.show()
  20. plot_axes3d_wireframe()

wireframe网格图

###二维散点图

  1. ##二维散点图
  2. '''
  3. matplotlib.pyplot.scatter(x, y, s=None, c=None, marker=None, cmap=None, norm=None,
  4.                           vmin=None, vmax=None, alpha=None, linewidths=None,
  5.                           verts=None, edgecolors=None, hold=None, data=None,
  6.                           **kwargs)
  7.  
  8. x,y 平面点位置
  9. s控制节点大小
  10. c对应颜色值，c=x使点的颜色根据点的x值变化
  11. cmap：颜色映射
  12. marker：控制节点形状
  13. alpha:控制节点透明度
  14. '''
  15.  
  16. import numpy as np
  17. import matplotlib.pyplot as plt
  18.  
  19. ##二维散点图
  20. fig = plt.figure()
  21. x = np.arange(100)
  22. y = np.random.randn(100)
  23. plt.scatter(x,y,c='b')
  24. plt.scatter(x+4,y,c='b',alpha=0.5)
  25. plt.show()

二维散点图

  1. ##三维散点图
    '''
    p3d.Axes3D.scatter( xs, ys, zs=0, zdir=’z’, s=20, c=None, depthshade=True, 
                       *args, **kwargs )
  2.  
  3. p3d.Axes3D.scatter3D( xs, ys, zs=0, zdir=’z’, s=20, c=None, depthshade=True,
                       *args, **kwargs)
    xs，ys 代表点x,y轴坐标
    zs代表z轴坐标：第一种，标量z=0  在空间平面z=0画图，第二种z与xs,yx同样shape的数组
    '''
  1. import numpy as np
  2. import matplotlib.pyplot as plt
  3. from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
  4.  
  5. fig = plt.figure()
  6. ax  = Axes3D(fig)
  7. x = np.arange(100)
  8. y = np.random.randn(100)
  9. ax.scatter(x,y,c='b',s=10,alpha=0.5)  ##默认z=0平面
  10. ax.scatter(x+4,y,c='b',s=10,alpha=0.7)
  11. ax.scatter(x+4,y,2,c='b',s=10,alpha=0.7)  ##指定z=2平面
  12. plt.show()

z轴标量

  1. import numpy as np
  2. import matplotlib.pyplot as plt
  3. from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
  4.  
  5. fig = plt.figure()
  6. ax  = Axes3D(fig)
  7. z = 6*np.random.randn(5000)
  8. x = np.sin(z)
  9. y = np.cos(z)
  10. ax.scatter(x,y,z,c='b',s=10,alpha=0.5)
  11. plt.show()

z轴与x，y同样shape

  1. '''二维梯度下降法'''
  2. def func_2d_single(x,y):
  3.     '''
  4.     目标函数传入x,y
  5.     :param x,y: 自变量，一维向量
  6.     :return: 因变量，标量
  7.     '''
  8.     z1 = np.exp(-x**2-y**2)
  9.     z2 = np.exp(-(x-1)**2-(y-1)**2)
  10.     z = -(z1-2*z2)*0.5
  11.     return z
  12.  
  13. def func_2d(xy):
  14.     '''
  15.     目标函数传入xy组成的数组，如[x1,y1]
  16.     :param xy: 自变量，二维向量  （x，y）
  17.     :return: 因变量，标量
  18.     '''
  19.     z1 = np.exp(-xy[0]**2-xy[1]**2)
  20.     z2 = np.exp(-(xy[0]-1)**2-(xy[1]-1)**2)
  21.     z = -(z1-2*z2)*0.5
  22.     return z
  23. def grad_2d(xy):
  24.     '''
  25.     目标函数的梯度
  26.     :param xy: 自变量，二维向量
  27.     :return: 因变量，二维向量  (分别求偏导数，组成数组返回)
  28.     '''
  29.     grad_x = 2*xy[0]*(np.exp(-(xy[0]**2+xy[1]**2)))
  30.     grad_y = 2*xy[1]*(np.exp(-(xy[0]**2+xy[1]**2)))
  31.     return np.array([grad_x,grad_y])
  32. def gradient_descent_2d(grad, cur_xy=np.array([1, 1]), learning_rate=0.001, precision=0.001, max_iters=100000000):
  33.     '''
  34.     二维目标函数的梯度下降法
  35.     :param grad: 目标函数的梯度
  36.     :param cur_xy: 当前的x和y值
  37.     :param learning_rate: 学习率
  38.     :param precision: 收敛精度
  39.     :param max_iters: 最大迭代次数
  40.     :return: 返回极小值
  41.     '''
  42.     print(f"{cur_xy} 作为初始值开始的迭代......")
  43.     x_cur_list = []
  44.     y_cur_list = []
  45.     for i in tqdm(range(max_iters)):
  46.         grad_cur = grad(cur_xy)
  47.         ##创建两个列表，用于接收变化的x，y
  48.         x_cur_list.append(cur_xy[0])
  49.         y_cur_list.append(cur_xy[1])
  50.         if np.linalg.norm(grad_cur,ord=2)<precision:  ##求范数，ord=2 平方和开根
  51.             break    ###当梯度接近于0时，视为收敛
  52.         cur_xy = cur_xy-grad_cur*learning_rate
  53.         x_cur_list.append(cur_xy[0])
  54.         y_cur_list.append(cur_xy[1])
  55.         print('第%s次迭代：x，y = %s'%(i,cur_xy))
  56.     print('极小值 x，y = %s '%cur_xy)
  57.     return (x_cur_list,y_cur_list)
  58. if __name__=="__main__":
  59.     current_xy_list = gradient_descent_2d(grad_2d)
  60.     fig = plt.figure(figsize=(12,8))
  61.     ax = Axes3D(fig)
  62.     a = np.array(current_xy_list[0])
  63.     b = np.array(current_xy_list[1])
  64.     c = func_2d_single(a,b)
  65.     ax.scatter(a,b,c,c='Black',s=10,alpha=1,marker='o')
  66.     x = np.arange(-2,2,0.05)
  67.     y = np.arange(-2,2,0.05)
  68.     ##对x,y数据执行网格化
  69.     x,y = np.meshgrid(x,y)
  70.     z = func_2d_single(x,y)
  71.     ax.plot_surface(x,y,z,
  72.                     rstride=1,##retride(row)指定行的跨度
  73.                     cstride=1,##retride(column)指定列的跨度
  74.                     cmap='rainbow',
  75.                     alpha=0.3
  76.                     )  ##设置颜色映射
  77.     # ax.plot_wireframe(x,y,z,)
  78.     ##设置z轴范围
  79.     ax.set_zlim(-2,2)
  80.     ##设置标题
  81.     plt.title('汽车优化设计之梯度下降--二元函数',fontproperties = 'SimHei',fontsize = 20)
  82.     plt.xlabel('x',fontproperties = 'SimHei',fontsize = 20)
  83.     plt.ylabel('y', fontproperties='SimHei', fontsize=20)
  84.     plt.show()

梯度下降法及下降路径

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