[NOIP提高组2018]货币系统
题目名称:货币系统
来源:2018年NOIP提高组
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题目内容
题目描述
在网友的国度中共有\(n\)种不同面额的货币,第\(i\)种货币的面额为\(a[i]\),你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便,我们把货币种数为\(n\)、面额数组为\(a[1..n]\) 的货币系统记作\((n,a)\)。
在一个完善的货币系统中,每一个非负整数的金额\(x\)都应该可以被表示出,即对每一个非负整数\(x\),都存在\(n\)个非负整数\(t[i]\)满足\(a[i] \times t[i]\)的和为\(x\)。然而, 在网友的国度中,货币系统可能是不完善的,即可能存在金额\(x\)不能被该货币系统表示出。例如在货币系统\(n=3\),\(a=[2,5,9]\)中,金额\(1,3\)就无法被表示出来。
两个货币系统\((n,a)\) 和\((m,b)\) 是等价的,当且仅当对于任意非负整数\(x\),它要么均可以被两个货币系统表出,要么不能被其中任何一个表出。
现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统\((m,b)\) ,满足\((m,b)\) 与原来的货币系统\((n,a)\) 等价,且\(m\)尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务:找到最小的\(m\)。
题目大意
已知货币系统\((n,a)\),\(n\)表示有多少种面额,\(a\)是一个集合,各个元素表示各种面额的大小。
两个货币系统\((n,a)\) 和\((m,b)\)是等价的,当且仅当对于任意非负整数\(x\),它要么均可以被两个货币系统表出,要么不能被其中任何一个表出。
找到一个货币系统\((m,b)\) ,满足\((m,b)\) 与原来的货币系统\((n,a)\) 等价,且\(m\)尽可能的小。其中 \(b\in a\)。
格式
输入
输入文件的第一行包含一个整数\(T\),表示数据的组数。
接下来按照如下格式分别给出\(T\)组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数\(n\)。接下来一行包含\(n\)个由空格隔开的正整数\(a[i]\)。
输出
输出文件共有\(T\)行,对于每组数据,输出一行一个正整数,表示所有与 \((n,a)\) 等价的货币系统 \((m,b)\) 中,最小的 \(m\)。
数据
样例
输入
2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17
输出
2
5
解释
在第一组数据中,货币系统\((2,[3,10])\) 和给出的货币系统\((n,a)\) 等价,并可以验证不存在\(m<2\) 的等价的货币系统,因此答案为\(2\)。 在第二组数据中,可以验证不存在$m<n $的等价的货币系统,因此答案为\(5\)。
数据范围
测试点 | n | a[i] | 测试点 | n | a[i] |
1 | =2 | ≤10000 | 11 | ≤13 | ≤16 |
---|---|---|---|---|---|
2 | 12 | ||||
3 | 13 | ||||
4 | =3 | 14 | ≤25 | ≤40 | |
5 | 15 | ||||
6 | 16 | ||||
7 | =4 | 17 | ≤100 | ≤25000 | |
8 | 18 | ||||
9 | =5 | 19 | |||
10 | 20 |
对于\(100\%\)的数据,满足\(1≤T≤20,n,a[i]≥1\)。
提示
因为钱掉进了水里,所以这是一道水题。
题解
输入每种面额后,先将其从小到大排序。
引理
如果一个面额无法被比它小的面额凑出来,那么必须选,否则一定不选。
证明:前者很显然,因为这个数不可能被比其更大的数凑出来。
后者,因为这个数可以被其他数凑出来,那么需要这个数组成的数只需要凑成这个数的数就可以了。
于是我们按顺序做完全背包,如果发现没被前面的数背包得到就选,否则不选。
A(开始处理)-->B[是否被背包得到]
B-->|是|C[弃置]
B-->|否|D[选择该元素]
D-->E[在原来的基础上用该元素进行完全背包]
C-->F(进入下一次处理)
E-->F
//C++
#include<bits/locale_facets.h>
#include<memory.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
inline void output(long long value);
inline long long input();
short a[101],able[25001];
int main()
{
short T=input();
while(T--)
{
short n=input(),maximum=0;
short must=n;
for(short i=1;i<=n;i++)maximum=max(maximum,a[i]=input());
able[0]=true;
for(short i=1;i<=n;i++)
for(short j=a[i];j<=maximum;j++)
if(able[j-a[i]])able[j]++;
for(short i=1;i<=n;i++)
if(able[a[i]]>1)must--;
memset(able,0,50002);
output(must),putchar('\n');
}
return 0;
}
inline void output(long long o)
{
if(o<0)putchar('-'),o=-o;
if(o>=10)output(o/10);
putchar(o%10^'0');
}
inline long long input()
{
bool positive=true;
char now=getchar();
long long i=0;
for(;!isdigit(now);now=getchar())
if(now=='-')positive=!positive;
for(;isdigit(now);now=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+(now^'0');
return positive?i:-i;
}
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