快速幂 x
快速幂!
模板如下:
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#define LL long long using namespace std; LL b,p,k; LL fastpow(LL a,LL b)
{
LL r=;
LL base=a;
while(b!=)
{
if(b%!=)//奇次幂
r=r*base;
base=base*base;
b=b/;
}
return r;
} LL fff(LL n,LL m)
{
if(m == ) return ; LL t = fff(n,m /); t = 1LL * t * t % k;
if(m&) t = 1LL * t * n % k; return t;
} LL mod_exp(LL a, LL b, LL c) //快速幂取余a^b%c
{
LL res,t;
res=%c;
t=a%c;
while(b)
{
if(b&)
{
res=res*t%c;
}
t=t*t%c;
b>>=;//就等价于b/2(位运算)
}
return res;
} int main()
{
scanf("%lld%lld%lld",&b,&p,&k);
LL tmpb=b;
b%=k;//防止b太大
/* start 快速幂求得b^p */
cout<<tmpb<<"^"<<p<<"="<<fastpow(b,p)<<endl;
/* end 快速幂求得b^p */ /* start 快速幂求得b^p%k */
cout<<tmpb<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"="<<mod_exp(b,p,k)<<endl;
/* 方法一 end */ cout<<tmpb<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"="<<fff(b,p)<<endl;
/* 方法二 end */
/* end 快速幂求得b^p%k */
return ;
}
快速幂取模算法x
转载x
作者在后面x
所谓的快速幂,实际上是快速幂取模的缩写,简单的说,就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中,经常要去求一些大数对于某个数的余数,为了得到更快、计算范围更大的算法,产生了快速幂取模算法。
先从简单的例子入手:求a^b % c = ?。
算法1、首先直接地来设计这个算法:
int ans = ;
for(int i = ;i<=b;i++)
ans = ans * a;
ans = ans % c;
这个算法的时间复杂度体现在for循环中,为O(b).这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大,很容易就会溢出。
那么,先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先有这样一个公式:
a^b%c = (a%c)^b%c
即积的取余等于取余的积的取余。
证明了以上的公式以后,我们可以先让a关于c取余,这样可以大大减少a的大小,
于是不用思考的进行了改进:
算法2:
int ans = ;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = ;i<=b;i++)
ans = ans * a;
ans = ans % c;
应该可以想到,既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也可以进行取余,所以得到比较良好的改进版本。
算法3:
int ans = ;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = ;i<=b;i++)
ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余
ans = ans % c;
这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法。
快速幂算法依赖于以下明显的公式,就不证明啦。
有了上述两个公式后,我们可以得出以下的结论:
1.如果b是偶数,我们可以记k = a2 mod c,那么求(k)b/2 mod c就可以了。
2.如果b是奇数,我们也可以记k = a2 mod c,那么求((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。
那么我们可以得到以下算法:
算法4:
int ans = ;
a = a % c;
if(b%==)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数,要多求一步,可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
for(int i = ;i<=b/;i++)
ans = (ans * k) % c;
ans = ans % c;
我们可以看到,我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然,这样子治标不治本。
但我们可以看到,当我们令k = (a * a) mod c时,状态已经发生了变化,我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c,所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。
当然,对于奇数的情形会多出一项a mod c,所以为了完成迭代,当b是奇数时,我们通过ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项,此时剩余的部分就可以进行迭代了。
当b=0时,所有的因子都已经相乘,算法结束。
于是便可以在O(log b)的时间内完成了。
于是,有了最终的算法:快速幂算法。
算法5:快速幂算法
int ans = ;
a = a % c;
while(b>)
{
if(b % == )
ans = (ans * a) % c;
b = b/;
a = (a * a) % c;
}
将上述的代码结构化,也就是写成函数:
int PowerMod(int a, int b, int c)
{
int ans = ;
a = a % c;
while(b>)
{
if(b % = = )
ans = (ans * a) % c;
b = b/;
a = (a * a) % c;
}
return ans;
}
本算法的时间复杂度为O(logb),能在几乎所有的程序设计(竞赛)过程中通过,是目前最常用的算法之一。
希望本文有助于掌握快速幂算法的知识点,当然,要真正的掌握,不多练习是不行的。
再次强调,文转
By 夜せ︱深
快速幂 x的更多相关文章
- 矩阵快速幂 HDU 4565 So Easy!(简单?才怪!)
题目链接 题意: 思路: 直接拿别人的图,自己写太麻烦了~ 然后就可以用矩阵快速幂套模板求递推式啦~ 另外: 这题想不到或者不会矩阵快速幂,根本没法做,还是2013年长沙邀请赛水题,也是2008年Go ...
- 51nod 算法马拉松18 B 非010串 矩阵快速幂
非010串 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 80 如果一个01字符串满足不存在010这样的子串,那么称它为非010串. 求长度为n的非010串的个数.(对1e9+7取模) ...
- hdu 4704 Sum (整数和分解+快速幂+费马小定理降幂)
题意: 给n(1<n<),求(s1+s2+s3+...+sn)mod(1e9+7).其中si表示n由i个数相加而成的种数,如n=4,则s1=1,s2=3. ...
- Codeforces632E Thief in a Shop(NTT + 快速幂)
题目 Source http://codeforces.com/contest/632/problem/E Description A thief made his way to a shop. As ...
- GDUFE-OJ 1203x的y次方的最后三位数 快速幂
嘿嘿今天学了快速幂也~~ Problem Description: 求x的y次方的最后三位数 . Input: 一个两位数x和一个两位数y. Output: 输出x的y次方的后三位数. Sample ...
- 51nod 1113 矩阵快速幂
题目链接:51nod 1113 矩阵快速幂 模板题,学习下. #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> ...
- 【66测试20161115】【树】【DP_LIS】【SPFA】【同余最短路】【递推】【矩阵快速幂】
还有3天,今天考试又崩了.状态还没有调整过来... 第一题:小L的二叉树 勤奋又善于思考的小L接触了信息学竞赛,开始的学习十分顺利.但是,小L对数据结构的掌握实在十分渣渣.所以,小L当时卡在了二叉树. ...
- HDU5950(矩阵快速幂)
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5950 题意:f(n) = f(n-1) + 2*f(n-2) + n^4,f(1) = a , f(2 ...
- 51nod 1126 矩阵快速幂 水
有一个序列是这样定义的:f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7. 给出A,B和N,求f(n)的值. Input 输 ...
- hdu 3307 Description has only two Sentences (欧拉函数+快速幂)
Description has only two SentencesTime Limit: 3000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K ...
随机推荐
- linux, kill掉占用60%多cpu的进程,几秒后换个pid 和 command 又出现
linux, kill掉占用60%多cpu的进程,几秒后换个pid 和 command 又出现?快速清理木马流程.假设木马的名字是xysbqaxjqy,如果top看不到,可以在/etc/init.d目 ...
- nodejs入门API之http模块
HTTP上的一些API及应用 HTTP模块上的服务(server)与响应(response) HTTP模块上的消息(message) HTTP模块上的代理(agent)与请求(request) HTT ...
- elment 中tree组件展开所有和收缩所有
upAll () { // 全部展开 遍历变成true let self = this; // 将没有转换成树的原数据 let treeList = this.sourceData; for (let ...
- 在nuxt中引入Font Awesome字体图标库
介绍 在element-ui框架中提供了一些图标样式,但是种类比较少,所以在这里提供一套更完善的字体图标库Font Awesome(官方文档),下面就开始介绍如何在一个nuxt项目中使用这套字体库. ...
- 1.Java集合-HashMap实现原理及源码分析
哈希表(Hash Table)也叫散列表,是一种非常重要的数据结构,应用场景及其丰富,许多缓存技术(比如memcached)的核心其实就是在内存中维护一张大的哈希表,而HashMap的实现原理也常常 ...
- TDDL生成全局ID原理
TDDL 在分布式下的SEQUENCE原理 TDDL大家应该很熟悉了,淘宝分布式数据层.很好的为我们实现了分库分表.Master/Salve.动态数据源配置等功能. 那么分布式之后,数据库自增序列肯定 ...
- Linq以本周和本月为条件的Sql,Liqn查询本周,Linq查询本月
//计算本周时间 时间 > DateTime.Now.AddDays(-Convert.ToInt32(DateTime.Now.Date.DayOfWeek) //计算本月时间 时间 > ...
- Image Processing and Analysis_15_Image Registration: A Method for Registration of 3-D shapes——1992
此主要讨论图像处理与分析.虽然计算机视觉部分的有些内容比如特 征提取等也可以归结到图像分析中来,但鉴于它们与计算机视觉的紧密联系,以 及它们的出处,没有把它们纳入到图像处理与分析中来.同样,这里面也有 ...
- Vue 日期下拉框
<!-- html --> <template> <!-- 控件样式 --> <div class="select"> <di ...
- Paper Reading:word2vec Parameter Learning Explained
论文:word2vec Parameter Learning Explained 发表时间:2016 发表作者:Xin Rong 论文链接:论文链接 为了揭开Word2vec的神秘面纱,不得不重新整理 ...