bzoj3926: [Zjoi2015]诸神眷顾的幻想乡 对[广义后缀自动机]的一些理解

先说一下对后缀自动机的理解，主要是对构造过程的理解。

构造中，我们已经得到了前L个字符的后缀自动机，现在我们要得到L+1个字符的后缀自动机，什么需要改变呢？

首先，子串$[0,L+1)$对应的状态不存在，应当建立一个状态来表示这个串，显然，这个状态(np)的right集合是{L+1}，max=L+1。

现在新建立了一个状态，我们还有两件事要干：找出能转移到这个状态的状态，建立链接；确定这个状态的min，即找到它在parent树上的父亲。

能转移到np的状态显然都是right集合包含L的状态，即p（子串$[0,L)$所在的状态）及p的祖先。

设c = s[L+1]我们沿着p往上爬，会遇到一些没有c的转移的状态，显然此时直接将c的转移连向它即可。

如果全都没有c的转移，那么np的父亲设为root，也就是说找到了np的min，为1。

否则，现在我们到了第一个含有c的转移的状态，此时p代表红色部分的状态。

aaarticlea/png;base64,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" alt="" />

如上图，至少存在两个红色的部分，他们是相同的，且其中一个位置为L，另一个位置的下一个字符是c，（注意，红色线段以及蓝色线段的右端代表它的位置，左端代表位置减去max的地方）。设q=p->to[c]，此时我们已经可以确定np的min了，就是p->max+2，即np的父亲的max应该为p->max+1。

这样，如果是图中的绿色状态，即q->max == p->max+1我们就可以宣布，找到了p的父亲。然后令p->par = q，这样在q以及所有的祖先的right集合中插入了L+1这个位置。

如果是蓝色状态，我们不得不考虑创建一个新的节点nq使它的max为p->max+1，来作为np的父亲，所以我们令nq->max = p->max + 1, np->par = nq，这样之前提到的两个问题已经全部解决了，但是事实上我们需要在p->to[c]这个状态的right集合中插入L+1，所以我们令nq->par = q->par, q->par = nq，则nq这个状态表示right集合正是现在的p->to[c]需要的，接下来我们把p以及所有p的祖先中到q的转移全部换成nq，这也要求nq和q具有相同的转移，需要memcpy(nq->to, q->to, sizeof(nq->to));

然后再谈一下广义后缀自动机，它可以同时接受若干个串，不妨考虑一棵trie，因为所有的串都可以插在trie上。特别地，这棵trie中的节点还可能拥有相同的儿子，这样可以方便我们在线插入。

与单个字符串的后缀自动机略有区别的是，此时的right集合实际上是trie上的节点，而不是一个长度L，我们考虑按照dfs序建成了如下trie树的后缀自动机，五角星部分是正在加入的。跟之前一样，只有p以及p的祖先是我们需要考虑的。

aaarticlea/png;base64,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" alt="" />

这个位置要插入的串是红色部分以及它所有的后缀，跟单个串的后缀自动机不同的是，此时p可能已经有了c的转移。按照之前说的，我们有两个事情，一个是创建一个新的状态来表示红色部分的字符串，这个状态的max应该是p->max+1,并且right集合应包含五角星所在的这个节点，第二个就是找到这个新的状态的min也就是它在parent树上的父亲。不同的是，之前我们一定会新建一个节点，因为p能转移到的状态的max是不可能达到p->max+1的，但是现在有可能已经存在这样的状态，我们可以直接在这个状态的right集合中插入五角星所在的节点，并且它的父亲之前已经找好了，我们可以直接结束。如果图中的只有绿色部分和蓝色部分与红色部分相同，且他们上面的字符有一个不同，就意味着这种状态存在。

如果只有蓝色部分跟红色部分相同，那么蓝色状态的max不会是p->max+1，肯定是 > p->max + 1的，此时需要新建一个节点，而我们已经找到了这个新节点的父亲，就是p->to[c]。

这样就对应一段新的代码：

if(p->to[c]) {
	Node *q = p->to[c];
	if(q->maxl == p->maxl + 1) return q; /*q->right++*/
	Node *np = new(pis++) Node(*q);
	np->maxl = p->maxl + 1, q->par = np;
	for(; p && p->to[c] == q; p = p->par) p->to[c] = np;
	return np;
}

当然，我们可以忽视不用创建节点的情况，每次都创建一个节点，后果就是有可能它的max跟它的父亲相同，这样没有状态能转移到它，它也不表示任何一个子串，它存在的意义只是为它的祖先贡献了的right集合一个位置，当然它在parent树中还必须起一个连接作用。代码可以完全不改变。

而按照最简状态后缀自动机的定义，这种状态是不应该存在的，但是存在的话问题也不大。

另外，在一棵严格的trie树（没有相同的儿子）上按照深度建立后缀自动机是不用考虑上面的情况的，因为这种情况一定不会出现。

下面是bzoj3926 [ZJOI2015]诸神眷顾的幻想乡 的代码，作为参考。

 #include<bits/stdc++.h>

 typedef long long LL;
 using namespace std;

 const int N =  + ;

 namespace sam {
     struct Node {
         int maxl;
         Node *par, *to[];

         Node() {}
         Node(int maxl) : maxl(maxl) {}
     } pool[N * ], *pis, *root;

     void init() {
         pis = pool;
         root = new(pis++) Node();
     }

     Node *extend(Node *p, int c) {
         if(p->to[c]) {
             Node *q = p->to[c];
             if(q->maxl == p->maxl + ) return q; /*q->right++*/
             Node *np = new(pis++) Node(*q);
             np->maxl = p->maxl + , q->par = np;
             for(; p && p->to[c] == q; p = p->par) p->to[c] = np;
             return np;
         } else {
             Node *np = new(pis++) Node(p->maxl + );
             for(; p && !p->to[c]; p = p->par) p->to[c] = np;
             if(!p) np->par = root;
             else {
                 Node *q = p->to[c];
                 if(q->maxl == p->maxl + ) np->par = q;
                 else {
                     Node *nq = new(pis++) Node(*q);
                     nq->maxl = p->maxl + ;
                     q->par = np->par = nq;
                     for(; p && p->to[c] == q; p = p->par) p->to[c] = nq;
                 }
             }
             return np;
         }
     }

     LL solve() {
         LL res = ;
         for(Node *p = pool + ; p != pis; ++p) {
             res += p->maxl - p->par->maxl;
         }
         return res;
     }
 }

 struct Edge {int to; Edge *next;} pool[N * ], *fir[N], *pis = pool;
 void AddEdge(int u, int v) {pis->to = v, pis->next = fir[u], fir[u] = pis++;}

 int ch[N], deg[N];

 void dfs(int u, int fa, sam::Node *p) {
     sam::Node *last = sam::extend(p, ch[u]);
     for(Edge *p = fir[u]; p; p = p->next) {
         int v = p->to;
         if(v != fa) dfs(v, u, last);
     }
 }

 int main() {
 #ifdef DEBUG
     freopen("in.txt", "r", stdin);
 #endif

     int n; scanf("%d%*d", &n);
     for(int i = ; i <= n; i++) scanf("%d", ch + i);
     for(int i = ; i < n; i++) {
         int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
         AddEdge(u, v), AddEdge(v, u);
         ++deg[u], ++deg[v];
     }
     sam::init();
     for(int i = ; i <= n; i++) if(deg[i] == ) {
         dfs(i, , sam::root);
     }
     cout << sam::solve() << endl;
     return ;
 }

bzoj3926