AtCoder [Dwango Programming Contest V] E 动态规划 多项式

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题意

有 $n$ 个数，第 $i$ 个数为 $a_i$ ，对于任意一个 $1,2,\cdots ,n$ 的排列 $P$ ，如果将所有边 $(i,P_i)$ 相连，那么必然得到一些环。定义函数 $f(P)=\prod_{r 是 P 中的一个环} r 中最小的 a_i 值$ 。定义 $S(i)=\sum_{P代表i 个环} f(P)$ ，求 $\gcd(S(1),S(2),\cdots ,S(n))$ 。

题解

好久没发博客了。我的退役生活被 10 门丰富多彩的学科暴虐。

首先将 $a_i$ 升序排列。

设 $dp[i][j]$ 为前 $i$ 个数分成 $j$ 个环对答案的贡献。

那么

$$dp[i][j] = dp[i-1][j]\times (i-1) + dp[i-1][j-1] \times a_i$$

其中初始值为 $dp[0][0]=1$ 。

则题目要求的就是 $\gcd(dp[n][1],dp[n][2],\cdots ,dp[n][n])$ 。

设 $g_k(x) = \sum_{i=0}^{n} dp[k][i] x^i$，则有 $g_{k+1}(x) = (k+a_{k+1}x)g_k(x)$ 。

即 $g_n(x) = \prod_{i=0}^{n-1} (i+a_{i+1}x)$ 。

引理

设 $P,Q$ 为多项式，定义函数 $G(P)=\gcd(P_0,P_1,\cdots)$ ，其中 $P_i$ 为多项式 $P$ 的 $i$ 次项。那么，必然有 $G(PQ) = G(P)G(Q)$ 。

证明上面的引理，只需要转化成一个显然的引理即可：

若 $G(P) = G(Q) = 1$，则 $G(PQ) = 1$ 。

引理完

于是最终答案就是 $\prod_{i=0}^{n-1} \gcd(i,a_{i+1})$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005,mod=998244353;
int n,a[N];
int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main(){
	cin >> n;
	for (int i=0;i<n;i++)
		cin >> a[i];
	sort(a,a+n);
	int ans=1;
	for (int i=0;i<n;i++)
		ans=1LL*ans*gcd(a[i],i)%mod;
	cout << ans;
	return 0;
}