Burnside引理

参考了神仙gzy的博客

置换：把一个排列变成另外一个排列，简单来说就是一一映射。
置换群：置换的集合。

置换即给定一个排列\({f_1,f_2,...,f_n}\)，若其作用在一个排列上，则这个排列置换后的第\(i\)个位置上的数变为置换前的第\(f_i\)个位置上的数，实质是一个从一个排列到另一排列的一一映射。

• 置换之间可以进行乘法

• 置换可以分解成若干循环的乘积

  以上两点可参考gzy的博客，其中第二点是等价类计数中常用的方法，在我有关排列计数的文章中会提到

Burnside引理

设G为置换集合，且对于任意\(f,g\in G\)，有\(fg\in G\)

\(C(f)\)为置换\(f\)的不动点个数，即一个排列进行置换\(f\)后还是这个排列

L为置换\(G\)下等价类个数，若排列a可以通过G中的置换得到b，则a,b属于同一等价类

有

\[L=\frac{\sum_{f\in G}C(f)}{|G|}\]

证明：

设\(Z_i\)为使\(i\)为不动点的置换集合大小，\(E_i\)为第\(i\)个等价类的大小。

则

\[\sum_{f\in G}C(f)=\sum_{i=1}^{n}Z_i\]

又因为对于一个等价类\(j\)，其中所有点\(i\)的\(Z_i\)都相等，设其为\(H_j\)

则

\(\sum_{i=1}^{n}Z_i=\sum_{i=1}^{L}E_iH_i\)

又因为每一个点经过\(G\)中的任意一个置换都会置换到它所在的等价类中的一个点，而置换到每一个点都有\(H_i\)种不同的置换方式

所以

\[|G|=E_iH_i\]

\[\therefore \sum_{i=1}^{n}Z_i=\sum_{i=1}^{L}|G|=L|G|\]

即

\[\sum_{f\in G}C(f)=L|G|\]

所以

\[L=\frac{\sum_{f\in G}C(f)}{|G|}\]

引理得证。

Polya定理也可以用Burnside引理证出来，详细可见Polya定理模板