均值不等式中的一则题目$\scriptsize\text{$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\ge \cfrac{25}{2}$}$
例题已知正数\(a、b\)满足条件\(a+b=1\),求\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)的最小值;
易错方法\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)
\(=a^2+\cfrac{1}{a^2}+b^2+\cfrac{1}{b^2}+4\)
\(\ge 2\sqrt{a^2\cdot \cfrac{1}{a^2}}+2\sqrt{b^2\cdot \cfrac{1}{b^2}}+4=8\)
这个解法的错误在于,没有验证等号成立的条件是否具备。
上述等号要成立,需要\(a^2=\cfrac{1}{a^2}\)且\(b^2=\cfrac{1}{b^2}\)
即\(a=1\)且\(b=1\)成立,其实这是不可能的,原因是\(a+b=1\);
这个错误产生的原因是走入了均值不等式使用的思维定式,
其实要想防止其发生,只要每使用一次均值不等式,就自觉的验证“正定等”即可,
尤其是等号的成立条件。
法1函数法,当题目给出\(a>0,b>0\),以及\(a+b=1\)时,
我们能利用均值不等式得到整体变量\(ab\)的取值范围。
由\(1=a+b\ge 2\sqrt{ab}\),故\(\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}\),又\(ab>0\)
故\(0<ab\leq \cfrac{1}{4}\);
\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)
\(=a^2+b^2+\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+4\)
\(=(a+b)^2-2ab+\cfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}+4\)
\(=(a+b)^2-2ab+\cfrac{(a+b)^2-2ab}{a^2b^2}+4\)
\(=1-2ab+\cfrac{1}{a^2b^2}-\cfrac{2}{ab}+4\),
令\(ab=x\in (0,\cfrac{1}{4}]\),则上式转化为
\(g(x)=1-2x+\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}+4\)
\(g(x)=5-2x+\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}\),
\(g'(x)=-2-\cfrac{2}{x^3}+\cfrac{2}{x^2}\)
\(=\cfrac{-2}{x^3}(x^3-x+1)\),
再令\(h(x)=x^3-x+1\),
则\(h'(x)=3x^2-1\),当\(x\in(0,\cfrac{1}{4}]\)时,\(h'(x)<0\),
故函数\(h(x)\)在区间\(x\in(0,\cfrac{1}{4}]\)单调递减,
\(h(x)\ge h(\cfrac{1}{4})>0\),
故\(g'(x)<0\),即函数\(g(x)\)在区间\(x\in(0,\cfrac{1}{4}]\)单调递减,
故\(g(x)_{min}=g(\cfrac{1}{4})=\cfrac{25}{2}\)。
法2不等式+对勾函数
由\(P=(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)
\(=a^2+\cfrac{1}{a^2}+b^2+\cfrac{1}{b^2}+4\)
\(\ge 2ab+\cfrac{2}{ab}+4\)(当且仅当\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时取到等号)
令\(ab=x\),则\(x\in (0,\cfrac{1}{4}]\),
\(g(x)=2x+\cfrac{2}{x}+4=2(x+\cfrac{1}{x})+4\),
由\(g(x)\)在\((0,\cfrac{1}{4}]\)上单调递减,可知
\(g(x)_{min}=g(\cfrac{1}{4})=\cfrac{25}{2}\),
即\(ab=\cfrac{1}{4}\)时,也即\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时\(P_{min}=\cfrac{25}{2}\)。
法3\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)
\(=a^2+\cfrac{1}{a^2}+b^2+\cfrac{1}{b^2}+4\)
\(=a^2+b^2+\cfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}+4\)
\(=(a^2+b^2)(1+\cfrac{1}{a^2b^2})+4\)
\(=(1-2ab)(1+\cfrac{1}{a^2b^2})+4\)
由法1可知\(0<ab\leq \cfrac{1}{4}\),则
\(\cfrac{1}{2}\leq 1-2ab<1\),\(1+\cfrac{1}{a^2b^2}\ge 17\)
故\((1-2ab)(1+\cfrac{1}{a^2b^2})\ge \cfrac{17}{2}\),
故\((1-2ab)(1+\cfrac{1}{a^2b^2})+4\ge \cfrac{25}{2}\)
法4依据\(2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2\)求解;
由(1)可知,\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\ge 4\),
则\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)
\(\ge \cfrac{[(a+\cfrac{1}{a})+(b+\cfrac{1}{b})]^2}{2}\)
\(= \cfrac{[(a+b)+(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})]^2}{2}\)
\(\ge \cfrac{5^2}{2}=\cfrac{25}{2}\),
当且仅当\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时取到等号。
法5\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)
\(=a^2+b^2+\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+4\)
因为\(a^2+b^2\ge 2ab\),两边同加\(a^2+b^2\),
所以\(2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2=1\),
即\(a^2+b^2\ge \cfrac{1}{2}\)
当\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时,上述等号成立
又\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}=\cfrac{a^2+b^2}{a^2b^2} \ge \cfrac{2ab}{a^2b^2}\)
\(\ge \cfrac{2}{ab}\ge \cfrac{2}{(\frac{a+b}{2})^2}=8\)
当\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时,上述等号成立
所以\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2≥\cfrac{1}{2}+8+4=\cfrac{25}{2}\)
当\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时,上述等号成立
法6利用\(a^2+b^2\ge \cfrac{(a+b)^2}{2}\)以及\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\ge 4\)作证明,
\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)
\(=a^2+b^2+(\cfrac{1}{a})^2+(\cfrac{1}{b})^2+4\)
\(\ge \cfrac{(a+b)^2}{2}+\cfrac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2}{2}+4\)
\(\ge \cfrac{1}{2}+\cfrac{4^2}{2}+4=\cfrac{25}{2}\)
当\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时,上述等号成立;
法7利用柯西不等式
柯西不等式:\((a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd)^2\),
\(a,b,c,d\in R\),当且仅当\(\cfrac{a}{c}=\cfrac{b}{d}\)时取到等号;
由已知条件\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)构造,
\((1^2+1^2)(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)
\(\ge (1\cdot (a+\cfrac{1}{a})+1\cdot (b+\cfrac{1}{b}))^2\)
\(=(a+b+\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})^2\)
\(=(1+1+\cfrac{b}{a}+1+\cfrac{a}{b})^2\)
\(\ge (3+2)^2=25\),
当且仅当\(a+\cfrac{1}{a}=b+\cfrac{1}{b}\),\(a=b\),\(a+b=1\),
即当且仅当\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时取到等号;
即\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2≥\cfrac{25}{2}\)
当且仅当\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时取到等号;
法8利用琴生不等式,
构造\(f(x)=(x+\cfrac{1}{x})^2(x>0)\),容易知道\(f(x)\)下凹,函数的凹凸性
则有\(\cfrac{f(a)+f(b)}{2}\ge f(\cfrac{a+b}{2})\),
即\(f(a)+f(b)\ge 2 f(\cfrac{a+b}{2})\),
即\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2≥2\cdot \cfrac{25}{4}=\cfrac{25}{2}\),
当且仅当\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时取到等号;
法9利用\(a^2+b^2\ge \cfrac{(a+b)^2}{2}\)以及\(ab\leq \cfrac{1}{4}\)作证明,
\((a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\)
\(\ge \cfrac{[(a+\cfrac{1}{a})+(b+\cfrac{1}{b})]^2}{2}\)
\(=\cfrac{(1+\cfrac{1}{ab})^2}{2}\)
\(\ge \cfrac{(1+4)^2}{2}=\cfrac{25}{2}\)
当\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时,上述等号成立;
其他相关
例1已知\(a>0\),\(b>0\),\(a+b=1\),
求证:(1).\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}\ge 8\)
(2).\((1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})\ge 9\)
分析:(1).\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}=2(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})\)
\(=2(\cfrac{a+b}{a}+\cfrac{a+b}{b})\)
\(=2(2+\cfrac{a}{b}+\cfrac{b}{a})\ge 2(2+2\sqrt{1})=8\),
当且仅当\(\begin{cases}a+b=1\\ a=b\end{cases}\)时,即\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时取等号。
法2:\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}=\cfrac{2}{ab}\)
由\(1=a+b\ge 2\sqrt{ab}\)得到\(0<\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}\)
故\(0<ab\leq \cfrac{1}{4}\),故\(\cfrac{1}{ab}\ge 4\),故\(\cfrac{2}{ab}\ge 8\),
当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。
(2).\((1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})\)
\(=(1+\cfrac{a+b}{a})(1+\cfrac{a+b}{b})\)
\(=(2+\cfrac{b}{a})(2+\cfrac{a}{b})\)
\(=5+2(\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b})\)
\(\ge 5+2\cdot2=9\)
当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。
例2已知正数\(a、b\)满足条件\(a+b=1\),
(1)求证:\(0<ab\leq \cfrac{1}{4}\);
分析:由\(1=a+b\ge 2\sqrt{ab}\),故\(\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}\),
又\(ab>0\),故\(0<ab\leq \cfrac{1}{4}\);
当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。
(2)求证:\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\ge 4\)
法1:\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})(a+b)\)
\(=2+\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b}\ge 2+2=4\)
当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。
法2:\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{a}+\cfrac{a+b}{b}\)
\(=2+\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b}\ge 2+2=4\)
当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。
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