洛谷P1138 第k小整数

我偏不用sort

Treap好题啊

看到只有一个人写Treap，而且写的不清楚，那我就来详细地写一下，方便新人学习

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第(-1)部分：前置知识

二叉查找树：满足左子树的数据都比根节点小，右子树的数据都比根节点大的二叉树

堆：满足子树中的数据均比根节点大的树，或是满足子树中的数据均比根节点小的树

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第零部分：Treap简介 & 程序开头

Treap=Tree+Heap，又称“树堆”。

这是因为Treap维护的数据满足二叉查找树的性质，而随机权值满足堆的性质。

#include <bits/stdc++.h> // 万能头文件

using namespace std;

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第一部分：定义Treap

代码中的root代表平衡树的树根，cnt是存Treap的时候用。

结构体treap存储的是一个节点。结构体中的cnt表示某个数字的出现个数，size表示以这个节点为根的子树的大小，val存的是当前数值，rnd是随机权值。son存左右孩子，下标为0时为左儿子，为1时是右儿子。

int cnt, root;

struct treap {
    int cnt, size, val, rnd, son[2];
}t[10010];

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第二部分：维护子树大小

可以模仿线段树的操作（如果你不知道线段树是什么也没关系）。一个以x为根的二叉树的大小，应该等于以它左儿子为根的子树大小+右儿子为根的子树大小+1。为什么要+1呢？因为还有x这个节点嘛，也要算上去。

但在Treap里，+1的地方应该改为+t[x].size。为什么呢？

这是因为Treap把值相同的数据合并成了一个，t[x].size记录了这个数据的出现次数。

x为子树的根节点。以后的代码中x都是这个意思，下面将不再赘述。

void upd(int x) {
    t[x].size = t[t[x].son[0]].size + t[t[x].son[1]].size + t[x].cnt;
}

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第三部分：旋转

旋转这个比较难理解

旋转这个操作，就是当Treap不能同时满足二叉查找树和堆的性质时，我们做一次旋转，让Treap的结构改变，但存储的数据依然满足二叉查找树和堆的性质。

这个东西可以手动推一下，大家应该都能理解吧（

代码中d=0时左旋，d=1时右旋。

void rotate(int &x, int d) {
    int tmp = t[x].son[d];
    t[x].son[d] = t[tmp].son[d ^ 1];
    t[tmp].son[d ^ 1] = x;
    upd(x); upd(tmp); x = tmp;
}

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第四部分：新建节点

这时候cnt就有用处了呢~

看函数内第一行：cnt++，新建出一个空节点

第二行的操作是给这个新建节点它需要维护的数据

第三行是给这个新建节点随机权值

第四行的操作意思是维护的这个数据目前只出现了一次

第五行是因为这个新建节点没有左右子树，所以大小赋值为1

返回值可以让我们知道这个新建节点在t数组中的位置

int newnode(int val) {
    cnt++;
    t[cnt].val = val;
    t[cnt].rnd = rand();
    t[cnt].cnt = 1;
    t[cnt].size = 1;
    return cnt;
}

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第五部分：建树

先建一个根节点，维护数据-INF（这里INF取了0x7fffffff，相当于十进制的2147483647，是int最大能存储的值）

再建一个节点，维护数据INF。INF显然比-INF大，所以放在根节点的右儿子处。

最后是建树的标准操作：更新树大小

这里维护的-INF和INF都是虚拟节点，不是我们真正要维护的，为的是其他Treap操作更加方便（似乎也没方便到哪儿去）

void build() {
    root = newnode(-0x7fffffff);
    t[root].son[1] = newnode(0x7fffffff);
    upd(root);
}

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第六部分：插入一个数据

我们可以拿着这个数据从根节点往叶子跑。由于是二叉搜索树，所以不用遍历整个树，同时也不能随便找一个地方就插上了。

我们在往叶子跑的时候，把途中经过的节点的大小都加上1，因为新增了一个元素。

如果我们在往叶子跑的中途遇到了与这个数据相等的节点的时候，我们直接把这个数据的出现次数：节点的cnt值加一。

如果我们的数据跑到了叶子上面，那就……叶上叶（滑稽）。当然，经过的那个叶子结点就变成了非叶子节点。当我们这是后要新建节点的时候，就要进行newnode操作新建节点、进行rotate操作维护……总之模拟即可。

void insert(int &x, int val) {
    if(!x) {
        x = newnode(val);
        return ;
    }
    t[x].size++;
    if(t[x].val == val)t[x].cnt++;
    else {
        int d = t[x].val < val;
        insert(t[x].son[d], val);
        if(t[x].rnd > t[t[x].son[d]].rnd) rotate(x, d);
    }
}

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第七部分：求第k小

求第k小很好说吧

如果k小于或等于左子树大小，答案是左子树中的第k小

否则，如果k小于或等于左子树大小+根节点数据出现次数，则答案为根节点数据

否则，答案为右子树中的第(k-根节点数据出现次数-左子树大小)小

其中还有个细节，因为我们之前的建树操作建的是两个虚拟节点，所以我们查询的时候k要+1，因为第1小被-INF占掉了

递归即可。

int kth(int x, int rnk) {
    if(!x) return 0x7fffffff;
    if(rnk <= t[t[x].son[0]].size) {
        return kth(t[x].son[0], rnk);
    } else {
        if(rnk <= t[t[x].son[0]].size + t[x].cnt) {
            return t[x].val;
        } else {
            return kth(t[x].son[1], rnk - t[x].cnt - t[t[x].son[0]].size);
        }
    }
}

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第八部分：主程序的开端以及初始化

Treap的部分基本说完了，现在来看主程序吧。

先定义一个a数组并清零（后面会讲为什么），定义m并初始化为0（后面会讲）

定义n,k和题面意义相同。

还有随机数初始化，搞随机权值用的。

int main() {
    int n, k, m = 0, a[30010];
    memset(a, 0, sizeof(a));
    cin >> n >> k;
    build();
    srand(time(NULL));

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第九部分：映射

我之前说过不用sort，不用unique，于是用了把数值映射到数组里的方法。a数组就是做这个用的。

当我们遇到一个数据data，就把a[data]++，表示data这个数出现了一次。这里没有定义data[10010]，省下了一个数组。

数据的取值范围为0~30000，我们暴力跑一边，如果这个数出现了，m++，在平衡树里插入节点。

大家应该都明白了，我们的m存储的是不同的正整数的数量。

如果m<k，因为相同的数只计算一次，就没有第k大，输出"NO RESULT"；否则，直接输出第k大。

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int data;
        cin >> data;
        a[data]++;
    }
    for(int i = 1; i <= 30000; i++) {
        if(a[i]) {
            m++;
            insert(root, i);
        }
    }
    if(m < k) cout << "NO RESULT" << endl;
    else cout << kth(root, k + 1) << endl;
    return 0;
}

跑的其实挺快（34ms, 948kb）

当然，这道题还不是Treap能做的所有事情。Treap还可以查询一个数的排名、删除一个数、查询一个数的前驱后继……有兴趣的可以做一下【模板】普通平衡树

这个题解就结束了呢~