今天开始离散数学的自学旅程。

主题:逻辑和证明

逻辑规则给出数学语句的准确含义。逻辑对计算机科学有着重要作用。为了理解数学,我么必须理解正确的数学论证是由什么组成的。只要证明一个数学语句是真的,我们就称之为定理。我们要学会如何理解和构造正确的数学论证。

1 命题逻辑

命题是一个或真或假的陈述语句,即一个陈述事实的句子,但不能既真又假。

涉及命题的逻辑领域称为命题演算或者命题逻辑。

1.1非命题,与命题和或命题的真值表

非命题,与命题和或命题的真值表如下

1.2 条件命题

令 p 和 q 为命题,条件语句 p → q 是命题“若 p ,则 q ”。当p为真,而q为假的时候,提哦啊兼语句 p→ q为假,否则为真。p 称为假设(或者前项,前提),q称为结论(或者推论)。

真值表如下:

表示 p → q 的术语有很多:

为了便于理解条件语句,举例如下,帮助理解:

命题:教授承诺,期末考试考了一百分,期末成绩能拿到A。

此时 p 为“期末考试考了一百分”,而 q 为 “期末成绩能拿到A”。表述条件就是 if p ,then q。考生期末考了一百分,但是没有得到A,也就是 p 为真,而 q 为假,那么整个命题就是假,也即是教授失信了,被骗了。其他情况都是真的。假如考生没有拿到一百分,那么期末成绩不一定就不是A,因为可能由其他因素决定。

注意,表述 p → q 是可以用 p only if q,这个句子是和 if p ,then q 等价的。很多人都是表述称 q only if  p。p only if q 说的是当q不为真时,q也不能为真。拿上面的例子来说明一下,期末成绩能拿到A不为真时,那么考生就是期末没有考到一百分,q也不是为真,如果q为真,那么整个命题就是假的,也即是教授说谎。但是考生期末考试没有拿到一百分,那么期末成绩会不会拿到A呢? 答案是不知道,因为此时q的真值并没有从命题体现出来,也即是说不管考生拿到的是不是A,也就是说不管q是不是真,教授都没有失信,那么整个命题那就是真的。

1.3 逆 反 和倒置

(懒得打字,就只好贴图了,莫见怪)

两个命题总是具有相同的真值时,我们称之为等价。

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