1 题目

Given two numbers represented as strings, return multiplication of the numbers as a string.

Note: The numbers can be arbitrarily large and are non-negative.

接口: public String multiply(String num1, String num2);

2 思路

大整数的乘法,不能够简单用Integer.valueOf(String s),会产生溢出错误。

我们先来看一下289*758的计算过程:



首先我们把每一位相乘,得到一个没有进位的临时结果,如图中中间的一行红色数字就是临时结果(最多只有m + n - 1个,可以用数组保存),然后把临时结果从低位起依次进位。

对于一个m位整数乘以n位整数的结果,最后得到的结果最多是m+n位。

因此,得出下面的算法:

1.翻转string

2.建立中间结果数组,循环遍历两个string,把单位的乘积累加到数组相应的位置

3.处理进位并输出

4.注意前导零的测试用例和测试用例(0,0)

我们有趣的发现, 红色的中间结果是有规律的:

  • 109 = 88 + 95;这两对乘积所取的元素下标是(1,0)和(0,1),下标的和是1。
  • 110 = 28 + 85 + 9*7;这三对乘积所取的元素下标是(2,0) (1,1) (0,2),下标的和是2。

    利用这个特性,可以计算出中间结果数组。

复杂度: Time: O(n^2) ; Space: O(m + n)

3 代码

        public String multiply(String num1, String num2) {
StringBuilder s1 = new StringBuilder(num1).reverse();
StringBuilder s2 = new StringBuilder(num2).reverse(); final int len1 = s1.length();
final int len2 = s2.length();
int[] tmp = new int[len1 + len2 - 1];
for (int i = 0; i < len1; i++) {
for (int j = 0; j < len2; j++) {
tmp[i + j] += (s1.charAt(i) - '0') * (s2.charAt(j) - '0');
}
} StringBuilder result = new StringBuilder(len1 + len2);
for (int i = 0; i < tmp.length; i++) {
int mod = tmp[i] % 10;
int carry = tmp[i] / 10;
if (i + 1 < tmp.length) {
tmp[i + 1] += carry;
result.insert(0, mod);
} else {
result.insert(0, tmp[i]);
}
} while (result.charAt(0) == '0' && result.length() > 1) {
result.deleteCharAt(0);
} return result.toString();
}

4 总结

  • 想出利用中间的乘积结果来计算乘积是关键。
  • 如何求中间结果是有规律的。

5 扩展

更高效的计算大整数乘法一般有:

1.karatsuba算法,复杂度为3nlog3≈3n1.585,可以参考百度百科、面试题——大整数乘法、乘法算法-Karatsuba算法。

2.基于FFT(快速傅里叶变换)的算法,复杂度为o(nlogn), 可以参考FFT, 卷积, 多项式乘法, 大整数乘法

6 参考

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