单纯形方法(Simplex Method)
最近在上最优理论这门课,刚开始是线性规划部分,主要的方法就是单纯形方法,学完之后做了一下大M算法和分段法的仿真,拿出来与大家分享一下。单纯形方法是求解线性规划问题的一种基本方法。
线性规划就是在一系列不等式约束下求目标函数最大值或最小值的问题,要把数学中的线性规划问题用计算机来解决,首先要确定一个标准形式。
将所给的线性规划问题化为标准形式:
s.t.是英文subject to 的简写,意思是受约束,也就是说第一个方程受到后面两个方程的约束。对于求最大值问题可以将目标函数加负号转换为最小值问题。
对于求最大值问题可以将目标函数加负号转换为最小值问题。
其他的问题就是将实际问题中的不等式约束改为等式约束,主要方法是引进松弛变量和剩余变量,以及将自有变量转换为非负变量。
①对于不等式,引入松弛变量将其变为等式形式如下:
②对于不等式,引入剩余变量将其变为等式形式如下:
③若变量为自有变量(可取正、负或零,符号无限制),则引入两个非负变量将其表示如下:
关于线性规划问题的解:
确定了标准形式,我们就针对这个标准形式讨论一下线性规划问题的解。线性规划问题的解能满足标准形式中约束条件的向量X的值,但只有最优解才能使目标函数值最小。
对于上文中的标准形式,约束矩阵A是一个m*n维矩阵,且m<n,所以一定可以从A中找到一个满秩m*m矩阵。这个矩阵就称作矩阵A的一个基阵,矩阵A就可以写作 [B N] , 相应的解 x 也可以写成 x=(xB,xN)’,那么 Ax=b 就变为,左式两端同乘B矩阵的逆,得到。由此引出下列名词:
基阵:非奇异矩阵(满秩矩阵、可逆矩阵)B
基向量:基阵B由m个线性无关的向量组成,称之为基向量
基变量:向量xB各分量,与基向量对应的xB中的m个分量成为基变量
非基变量:向量xN各分量
基本解:令xN各分量为0,由得到的解称为基阵B对应的基本解
基本可行解:当成立时,称基本解为基本可行解,因为只有满足所有分量不小于0,才符合标准形式中的约束条件(最后一条)。
单纯形表
如上图所示,在做单纯形表时,我们要找到这么一个满秩矩阵B,而且要通过行变换把它化为单位阵,同时把这个单位阵上方对应的向量c中元素变为0。也就是说,在标准的单纯形表中,在表的第一行中,基变量对应的元素全为0,非基变量对应的元素称之为检验数。这时便找到了此问题的一个基本可行解,此时单纯形表最右边一列的各数从上到下为此基本解对应的目标函数值f和基本解的基变量的值b’(非基变量为0)。
举个例子:
S |
X1(非基变量) |
X2(非基变量) |
X3 |
X4 |
X5 |
|
f |
5(检验数) |
10(检验数) |
0 |
0 |
0 |
0(目标函数值) |
X3 |
1/14 |
1/7 |
1 |
0 |
0 |
1(基变量X3值) |
X4 |
1/7 |
1/12 |
0 |
1 |
0 |
1(基变量X4值) |
X5 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
8(基变量X5值) |
这是一个已经变换好的单纯形表,红色部分是b’,也就是此时基本可行解中基变量分别为X3,X4,X5,他们的值分别为1,1,8,对应的基本可行解就是(0,0,1,1,8)。可以看出,此时目标函数值为0。
单纯形方法基本步骤:
初始的单纯形表已经给出了线性规划问题的一个基本可行解,接下来要做的就是判断这个解是否是最优解,如果是的话不用继续找啦,如果不是的话就找一个比这个解更好的解,再进行判断,直到找到最优解。但有的问题是没有最优解的,所以还要判定问题是否无解。
1) 将所给的线性规划问题化为标准形式。
2)找出一个初始的基阵B,作出单纯形表,作为程序的输入(A,C,f,b’)。
3)测试所有的检验数,记录检验数中的正数,若全部小于等于0,则已经找到最优解,计算终止。否则转至4)。
4)测试所有为正的检验数,若在单纯性表中,其所在的列中其他元素全部小于等于0,则此问题无最优解,计算终止,否则转至5)。
5)找出检验数中的最大值,此最大值元素所在列为A(i,:),令约束条件中约束向量b与A(i,:)的比值为向量r,向量r中为正的最小值为h,计算过程如下图。
S单纯形表 |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
|
f |
5 |
10(最大值) |
0 |
0 |
0 |
0 |
X3 |
1/14 |
1/7 |
1 |
0 |
0 |
1 |
X4 |
1/7 |
1/12 |
0 |
1 |
0 |
1 |
X5 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
8 |
表格中黄色部分组成的向量点除(对应元素相除)红色部分,得到向量(7,12,8),那么7就是我们要找的那个元素,此时记录元素大小h和坐标(i,j),注意是在S表中行号和列号,此处是2和2(如果有多个相等的最小值则任取一个即可)。
这个元素1/7就是所谓的转轴元(或称基本元),找到他之后要围绕他进行一系列的行变换,称之为换基。步骤如下:
①使转轴元变为1,方法很简单,就是让本行所有元素同时除以转轴元1/7。
②把转轴元所在列的其他元素都变为0,做法是通过一个循环,遍历每一个行(自身所在行除外),每行中与转轴元同列的元素为a,令每行减去转轴元所在行的第a倍即可。转至3)。
理论部分到此为止,如有疏漏欢迎留言(参考书目为黄平的《最优化理论》)
matlab仿真程序编写:
Simplex.m
%Simplex Method
function [x,y]=Simplex(f,A,b)
%输入f是检验数的数组,1*n维
%输入A是约束矩阵, m*n维
%输入b是约束向量, 1*m维
%输出x是解向量
%输出y是最优解
%判断输入维数是否相符
%做初始单纯形表
format rat %将结果以分数表示
S=[f 0;A b'];
[n,m]=size(S);
%判断检验数 r<=0
r=find(f>0);
len=length(r);
%有大于0的检验数则进入循环
while(len)
%检查非负检验数所对列向量元素是否都小于等于0
for k=1:length(r)
d=find(S(:,r(k))>0);
if(length(d)+1==2)
error('无最优解!!!')
%break;
end
end
%找到检验数中最大值
[Rk,j]=max(S(1,1:m-1));
%b与最大值所在列的比值
rb=S(2:n,m)./S(2:n,j);
%把比值中的负数都变无穷
for p=1:length(rb)
if(rb(p)<0)
rb(p)=Inf;
end
end
[h,i]=min(rb);%列向量比值最小值
% i+1为转轴元行号(在S中),j为转轴元列号
i=i+1;
%进行换基,转轴元置1
S(i,:)=S(i,:)./S(i,j);
%转轴元所在列其他元素都置0
for k=1:n
if(k~=i)
S(k,:)=S(k,:)-S(i,:)*S(k,j);
end
end
%判断检验数 r<=0
r=find(S(1,1:m-1)>0);
len=length(r);
end
%检验数全部非正,找到最优解
%非基变量置0
x=zeros(1,m-1);
for i=1:m-1
%找到基变量
j=find(S(:,i)==1);%每列中1的个数
k=find(S(:,i)==0);%每列中0的个数
if((length(j)+1==2)&&(length(k)+1==n))
%i为基本元列号,j是行号
x(i)=S(j,m);
end
end
y=S(1,m);%最优解
S
end
下面附带一个测试程序(test.m):
clear all
clc
f=[4 3 0 0 0];
A=[1 1 1 0 0;
1 2 0 1 0;
3 2 0 0 1];
b=[50 80 140];
[x,y]=Simplex(f,A,b)
f=[1 1 0 0];
A=[-2 1 1 0;
1 -1 0 1];
b=[4 2];
[x,y]=Simplex(f,A,b)
仿真结果如下:
单纯形方法(Simplex Method)的更多相关文章
- ASP.NET MVC 5 - 验证编辑方法(Edit method)和编辑视图(Edit view)
在本节中,您将验证电影控制器生成的编辑方法(Edit action methods)和视图.但是首先将修改点代码,使得发布日期属性(ReleaseDate)看上去更好.打开Models \ Movie ...
- Python魔术方法-Magic Method
介绍 在Python中,所有以"__"双下划线包起来的方法,都统称为"Magic Method",例如类的初始化方法 __init__ ,Python中所有的魔 ...
- .NET 扩展方法(Extention Method)的要点
扩展方法Extention Method的主要介绍在:http://msdn.microsoft.com/zh-cn/library/bb383977(v=vs.100).aspx. 扩展方法的意义在 ...
- Atitit java方法引用(Method References) 与c#委托与脚本语言js的函数指针
Atitit java方法引用(Method References) 与c#委托与脚本语言js的函数指针 1.1. java方法引用(Method References) 与c#委托与脚本语言js ...
- 35.按要求编写Java程序: (1)编写一个接口:InterfaceA,只含有一个方法int method(int n); (2)编写一个类:ClassA来实现接口InterfaceA,实现int method(int n)接口方 法时,要求计算1到n的和; (3)编写另一个类:ClassB来实现接口InterfaceA,实现int method(int n)接口 方法时,要求计算n的阶乘(n
35.按要求编写Java程序: (1)编写一个接口:InterfaceA,只含有一个方法int method(int n): (2)编写一个类:ClassA来实现接口InterfaceA,实现in ...
- JVM的堆(heap)、栈(stack)和方法区(method)
JVM主要由类加载器子系统.运行时数据区(内存空间).执行引擎以及与本地方法接口等组成.其中运行时数据区又由方法区Method Area.堆Heap.Java stack.PC寄存器.本地方法栈组成. ...
- 牛顿方法(Newton-Raphson Method)
本博客已经迁往http://www.kemaswill.com/, 博客园这边也会继续更新, 欢迎关注~ 牛顿方法是一种求解等式的非常有效的数值分析方法. 1. 牛顿方法 假设\(x_0\)是等式的 ...
- (方法调配)Method Swizzling
一.概念 方法调配:因为Objective-C是运行时语言,也就是说究竟会调用何种方法要在运行期才能解析出来.那么我们其实也可以在运行时改变选择子名称.这样我们既不需要查看到源代码,又没有必要去重写子 ...
- [转]JVM 内存初学 (堆(heap)、栈(stack)和方法区(method) )
这两天看了一下深入浅出JVM这本书,推荐给高级的java程序员去看,对你了解JAVA的底层和运行机制有比较大的帮助.废话不想讲了.入主题: 先了解具体的概念:JAVA的JVM的内存可分为3个区:堆(h ...
随机推荐
- sqlserver 读取xml 字符串方法
declare @xml xml declare @propertyName varchar(50) declare @str nvarchar(max) set @propertyName = ...
- [ASE]sprint3 总结 & sprint4计划
斯普润特4! 啊终于到最后一个阶段了…… 有种苦日子就要熬到头跟小组合作意犹未尽的感觉 那么开始sprint3-sprint4的衔接吐槽总结 在之前的两周也就是sprint3期间正赶上出国申请的dl, ...
- goalng 发布的版本中自动加上 git revision
概述 起因是这样的,在编译发布 golang 工程时,希望版本号中包含有 git revision number. 但是,没有commit之前,是没法知道 revision number 的,comm ...
- Angularjs路由需要了解的那点事
Angularjs路由需要了解的那点事 我们知道angularjs是特别适合单页面应用,为了通过单页面完成复杂的业务功能,势必需要能够从一个视图跳转到另外一个视图,也就是需要在单个页面里边加载不同的模 ...
- Quartz.net(调度框架) 使用Mysql作为存储
最近公司的做的项目中涉及到配置任务地址然后按照配置去目标地址提取相关的数据,所以今天上午在Internet上查看有关定时任务(调度任务)的相关信息,筛选半天然后查找到Quartz.net. Quart ...
- dojo/query源码解析
dojo/query模块是dojo为开发者提供的dom查询接口.该模块的输出对象是一个使用css选择符来查询dom元素并返回NodeList对象的函数.同时,dojo/query模块也是一个插件,开发 ...
- 规范化的软件项目演进管理--从 Github 使用说起
规范化的软件项目演进管理 从 Github 使用说起 1 前言 首先,本文的层次定位是:很基本很基础的 Github 工具的入门级应用,写给入门级的用户看的. 基本上工作过几年的人,下面描述的这些 ...
- Spring AOP简述
使用面想对象(Object-Oriented Programming,OOP)包含一些弊端,当需要为多个不具有继承关系的对象引入公共行为时,例如日志,安全检测等.我们只有在每个对象中引入公共行为,这样 ...
- InputStream与InputStreamReader的区别
InputStream是字节流,多用于读取二进制数据 InputStreamReader是字符流,多用于读取文本文件.有不同的编码方式,如utf8等.可以在构造的时候指定编码方式. 例如,两者都有一个 ...
- Web开发人员必读的12个网站
The more you actually create, the more you’ll learn.(创造的越多,学习的越多),世界上有无数个开发人员会在网上分享他们的开发经验,我们无法向所有人学 ...