TRIE 字典树 前缀紧急集合！

TRIE：

在计算机科学中，Trie，又称前缀树或字典树，是一种有序树状的数据结构，用于保存关联数组，其中的键通常是字符串。——百度百科

自我理解：

trie树，是一种处理字符串前缀的数据结构，通常会有N*Len个节点，每个节点又引申出|S|个子节点指针，相当于一个很多叉的树，（甚至往往每个点叉的个数比高度还多）我们可以O（n）把待处理的字符串“挂到”trie上，最后统一查询，或者边挂边查。

可以发现，每个节点到根节点的路径就是一个前缀。

为什么要用字典树？

我们处理前缀问题的时候，往往需要求前缀的最值问题，公共前缀等等。朴素的做法都是要一个一个枚举，而我们把这些字符串集中到一个树上，通过公共前缀共用节点的特点，可以巧妙地不经过一一比较，就可以判断。

例如：

1.所有字符串LCP问题，朴素做法要处理hash，再在每个字符串上二分。logL* N,并且不能保证完全的正确性。毕竟有误差可能性。

通过trie树，相同的前缀已经被我们集中到了一起，我们只需要从根节点开始，一直找t[t[u].son].v==n的son节点，直到找不到为止，避免了对每个字符串进行操作的O（n）。

虽然预处理复杂度NlogL，但是查找的复杂度只有|S|*L，很少了。对于后续处理来说，预处理复杂度算不了什么。

2.两两字符串LCP问题：见例题：JZOJ 3126【GDKOI2013选拔】大LCP

但是，缺点很明显，trie的空间要更大，N太长就不行了。

需要的东西：

1.struct：son[28]（如果是不分大小写的字典树）,vis（该节点被访问过几次，或者：已经有多少个串拥有该节点代表的前缀，用于求LCP）,num（编号为num的串结尾在这里，用于dfs确定字符串的字典序）2.insert:（洛谷2412）

void insert(char b[],int id)
{
    int len=strlen(b);
    int u=;
    for(int i=;i<=len-;i++){
        if(!t[u].son[tol(b[i])]) {
            t[u].son[tol(b[i])]=++tot;
            u=tot;
        }
        else u=t[u].son[tol(b[i])];
    }
    t[u].num=id;
}

id：字符串编号，注意每次从根节点0开始插入。第一个有实际意义的点必须从1开始，根什么都不代表，只有指针。但是有编号0。

3.dfs

void dfs(int x){
    if(t[x].num) ran[t[x].num]=++cnt;
    for(int i=;i<=;i++){
        if(t[x].son[i]) dfs(t[x].son[i]);
    }
}

确定所有插到trie上的字符串的字典序。

4.查找字符串，就直接找。

如果这个节点没有son[x[i]]这个出边，则返回没有；否则继续找，直到x[]找到底，判断这个点num是否为0，0返回没有，非0返回有。

5.查询任意两个字符串的LCP：两字符串对应的末尾节点，求LCA的深度，就是LCP

应用例题:（也有不是处理字符串的）

T1：JZOJ 3126【GDKOI2013选拔】大LCP

Description

LCP就是传说中的最长公共前缀，至于为什么要加上一个大字，那是因为…你会知道的。

首先，求LCP就要有字符串。既然那么需要它们，那就给出n个字符串好了。

于是你需要回答询问大LCP，询问给出一个k,你需要求出前k个字符串中两两的LCP最大值是多少，这就是传说中的大LCP。

Input

第一行一个整数N,Q,分别表示字符串个数和询问次数。

接下来N行，每行一个字符串。

再Q行，每行一个正整数k。

对于100%的数据,字符串总长度不超过10^6，1<=N,Q<=10^5.

分析：

这个题可以显著地体现trie求LCP的霸气所在。狂虐hash。

我们要是先都插入trie再处理询问，我怎么知道哪些是前k个产生的贡献？

询问是不强制在线的，所以把k从小到大排个序。按顺序插入，到了一个询问就输出正在更新的mx即可。

每次插入，直到到了一个要建新节点之前的所有经过的点，就是这个字符串与之前所有插入过的字符串的LCP长度。

例如叫做i字符串，都相当于是一个与1~i-1字符串进行LCP，直接O（1）带走啊。

相比较于hash，就可怜多了，必须n^2枚举字符串对，再二分LCP，n^2logL,哭死。

trie直接O（n），边插边查，复杂度大大下降。

前缀集合，trie确实优秀。

T2：poj2001

给定若干字符串，对于每个字符串求出一个最短前缀，使得这个前缀不是任何其他字符串的前缀。

分析：直接都挂上去，记录vis标记（见开头）。每个字符串按图索骥，直到某个点vis为1

T3：bzoj2251

给定一个长度为N的01串，要求按照字典序输出所有出现次数大于一次的子串的出现次数。
N<=3000。

分析：这个题有点想法。

我们知道，所有前缀的所有后缀就是所有子串，但是我们不能挂前缀啊，后缀怎么处理？？

trie是处理前缀的。

不过还有一句话：所有后缀的所有前缀就是所有子串！！所以我们挂所有后缀。

节点标记vis，最后dfs按先0后1的顺序找到所有vis大于1的就行了。

为什么呢？因为vis=1，说明挂上的字符串中有一个从该点到根的前缀，而vis>1就说明有多个。

而我们挂上去的是后缀，有一个前缀，就有一个子串，有多个相同的前缀，就有多个相同的子串。等价转化。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=+;
struct trie{
    int son[];
    int v;
}t[N*N/];
int tot;
int n,len;
char a[N];
char b[N];
void add(char x[],int l){
    //cout<<x<<endl;
    int u=;
    for(int i=;i<l;i++){
        int b=x[i]-'';
        if(t[u].son[b]){
            u=t[u].son[b];
        }
        else{
            t[u].son[b]=++tot;u=tot;
        }
        t[u].v++;
    }
}
void dfs(int x){
    if(t[x].v>) printf("%d\n",t[x].v);
    if(t[x].son[]) dfs(t[x].son[]);
    if(t[x].son[]) dfs(t[x].son[]);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",a+);
    for(int i=n;i>=;i--)
    {
        for(int j=i;j<=n;j++){
            b[j-i]=a[j];
        }
        add(b,strlen(b));
        //if(i!=1) memset(b,0,sizeof b);
    }
    dfs();
    return ;
}

bzoj2251

T4:洛谷P4551

题目描述

给定一棵 n 个点的带权树，结点下标从 1 开始到 N 。寻找树中找两个结点，求最长的异或路径。

异或路径指的是指两个结点之间唯一路径上的所有边权的异或。

数据范围

1≤n≤100000; 0<u,v≤n; 0≤w<2^31

分析：

这个题就比较考验洞察能力了。

因为异或运算满足交换律，结合律。所以我们可以求出每个点到根节点路径上的异或和dis[i]。

这样，我们要把所有的dis（二进制位）从高位到低位，挂到trie上。

对于节点i，先插入，再查询，将dis[i]高位补0对齐31位，从trie上往下找，每次先找有没有相反的，dis[i]这一位是0，找有没有1，反之找0

如果没有相反的，只能进入相同的了，然后指针后移，继续进行这个操作。

因为是从高位开始匹配，所以肯定尝试找在高位能异或出来1的可能性。

仍然利用前缀集合起来的性质，避免了枚举点对，O（n）扫一遍就好了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ui;
const int N=+;
const int M=;
int ch[*N][];
int tot=;
ui dis[N];
struct node{
    int nxt,to;
    ui val;
}bian[*N];
int hd[N];
int cnt;
int n;
ui ans,sum;
void add(int x,int y,ui z)
{
    bian[++cnt].nxt=hd[x];
    bian[cnt].to=y;
    bian[cnt].val=z;
    hd[x]=cnt;
}
void dfs(int x,ui dist,int fa)
{
    dis[x]=dist;
    for(int i=hd[x];i;i=bian[i].nxt)
    {
        int y=bian[i].to;
        if(y==fa) continue;
        if(x!=) dfs(y,dist^bian[i].val,x);
        else dfs(y,bian[i].val,x);
    }
}
ui work(ui x)
{
    ui st=;
    ui sum=;
    int now=;
    while(st)
    {
        int kk=((unsigned int)x&((unsigned int)<<st-))>>(st-);
        if(ch[now][!kk]) {
            now=ch[now][!kk],sum=sum+((unsigned int)<<st-);
        }
        else {
            now=ch[now][kk];
        }
        st--;
    }
    return sum;
}
void puts(ui x)
{
    ui st=;
    int now=;
    while(st)
    {
        int kk=((unsigned int)x&((unsigned int)<<st-))>>(st-);
        if(ch[now][kk]) now=ch[now][kk];
        else ch[now][kk]=++tot,now=tot;
        st--;
    }
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&n);
    int x,y,z;
    for(int i=;i<=n-;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    dfs(,,-);
    for(int i=;i<=n;i++)
     ans=max(ans,dis[i]);//warning!!
    puts(dis[]);
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        ans=max(ans,work(dis[i]));
        puts(dis[i]);
    }
    printf("%lld",ans);
    return ;
}

洛谷4551