【BZOJ2286】消耗战（虚树，动态规划）

题面

Description

在一场战争中，战场由n个岛屿和n-1个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他k个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。

侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到1号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用m次，所以我们只需要把每次任务完成即可。

Input

第一行一个整数n，代表岛屿数量。

接下来n-1行，每行三个整数u,v,w，代表u号岛屿和v号岛屿由一条代价为c的桥梁直接相连，保证1<=u,v<=n且1<=c<=100000。

第n+1行，一个整数m，代表敌方机器能使用的次数。

接下来m行，每行一个整数ki，代表第i次后，有ki个岛屿资源丰富，接下来k个整数h1,h2,…hk，表示资源丰富岛屿的编号。

Output

输出有m行，分别代表每次任务的最小代价。

Sample Input

1 5 13

1 9 6

2 1 19

2 4 8

2 3 91

5 6 8

7 5 4

7 8 31

10 7 9

2 10 6

4 5 7 8 3

3 9 4 6

Sample Output

HINT

对于100%的数据，2<=n<=250000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=n-1

题解

裸的虚树$dp$

构建出虚树之后直接做$dp$就好了

设$f[i]$表示割掉以$i$为根的所有子树中关键点的最小代价

预处理每个点到根节点的最短的那条边长度$val[i]$，这样转移会方便很多

$f[i]=min(val[i],\sum f[v])$

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

#define ll long long

#define RG register

#define MAX 300000

inline int read()

{

    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();

    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();

    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

    return x*t;

}

struct Line{int v,next,w;}e[MAX<<1];

int h[MAX],cnt=1;

inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}

int fa[MAX],dep[MAX],size[MAX],hson[MAX],dfn[MAX],low[MAX],top[MAX],tim;

int p[MAX<<1],S[MAX];

ll val[MAX];

bool vis[MAX];

int n,m,K;

void dfs1(int u,int ff)

{

	fa[u]=ff;dep[u]=dep[ff]+1;size[u]=1;

	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)

	{

		int v=e[i].v;if(v==ff)continue;

		val[v]=min(val[u],(ll)e[i].w);

		dfs1(v,u);size[u]+=size[v];

		if(size[v]>size[hson[u]])hson[u]=v;

	}

}

void dfs2(int u,int tp)

{

	top[u]=tp;dfn[u]=++tim;

	if(hson[u])dfs2(hson[u],tp);

	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)

	{

		int v=e[i].v;

		if(v==hson[u]||v==fa[u])continue;

		dfs2(v,v);

	}

	low[u]=tim;

}

int LCA(int u,int v)

{

	while(top[u]^top[v])(dep[top[u]]<dep[top[v]])?v=fa[top[v]]:u=fa[top[u]];

	return dep[u]<dep[v]?u:v;

}

bool cmp(int u,int v){return dfn[u]<dfn[v];}

ll DP(int u)

{

	if(vis[u])return (ll)val[u];

	ll ret=0;

	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)ret+=DP(e[i].v);

	return min(ret,(ll)val[u]);

}

int main()

{

	n=read();

	for(int i=1;i<n;++i)

	{

		int u=read(),v=read(),w=read();

		Add(u,v,w);Add(v,u,w);

	}

	val[1]=2e18;dfs1(1,0);dfs2(1,1);

	memset(h,0,sizeof(h));

	m=read();

	while(m--)

	{

		K=read();cnt=1;

		for(int i=1;i<=K;++i)vis[p[i]=read()]=true;

		sort(&p[1],&p[K+1],cmp);

		for(int i=K;i>1;--i)p[++K]=LCA(p[i],p[i-1]);p[++K]=1;

		sort(&p[1],&p[K+1],cmp);K=unique(&p[1],&p[K+1])-p-1;

		for(int i=1,top=0;i<=K;++i)

		{

			while(top&&low[S[top]]<dfn[p[i]])--top;

			Add(S[top],p[i],0);S[++top]=p[i];

		}

		printf("%lld\n",DP(1));

		for(int i=1;i<=K;++i)vis[p[i]]=false,h[p[i]]=0;

	}

	return 0;

}